王友春

高中数学的教与学离不开解题，但题不在多，而在于让学生“学一题，触一类，通一片”；“一个专心的、认真备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像一道门，把学生引入到一个完整的理论区域”（数学家波利亚）.教师在解题教学中，理应科学、合理地设计一系列问题，形成一个螺旋式上升的“问题串”，从本质上去引领学生探究、解决问题，培养学生的思维能力.本文笔者结合自己的一次教学实践，通过对出现在函数题中含全称、存在量词的一系列问题（问题串）的分析、探究，以期提高学生的探究思维能力和课堂的教学实效，不妥之处敬请方家指教.

一、问题的引入

问题1已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=x2-2ax，a∈R，命题“x∈[1，e]，f（x）≤g（x）成立”是真命题，则实数a的取值范围是.

分析∵x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，∴对f（x）≤g（x）实行“分离变量”，转化为利用导数求新函数的最值问题.

解∵x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，∴x∈[1，e]時，x-lnx+2ax-x2≤0，即a≤x2+lnx-x2x恒成立，设h（x）=x2+lnx-x2x（x∈[1，e]），则h′（x）=x2+1-lnx2x2，设k（x）=x2+1-lnx，由k′（x）=2x2-1x得：当x∈[1，e]时，k′（x）>0恒成立，∴k（x）在[1，e]上是增函数，而k（1）=1>0，∴h′（x）>0（x∈[1，e]），∴h（x）在[1，e]上也是增函数；∵hmin（x）=h（1）=1，∴a≤1.

评注1.对于含参数a的不等式f（x）≤g（x）（或f（x）≥g（x））恒成立问题，可以实施“分离变量”转化为a≤h（x）（或a≥h（x））恒成立，进而使a≤hmin（x）（或a≥hmax（x））即可；也可以转化为f（x）-g（x）≤0（或f（x）-g（x）≥0）恒成立，进而使[f（x）-g（x）]max≤0（或[f（x）-g（x）]min≥0）即可.

2.为了更好地培养学生的探究思维，由此题的分析和解决，笔者就以“问题1”为引例，“借”题发挥，设计了一系列问题，让学生“学一题，触一类，通一片”，努力使得本次课成为一次生动的习题探究课.

二、总结与反思

笔者设计的7个问题以问题1为源头借“题”发挥，进行引申与拓展，给出……