刘富裕，王学芳， 曹 健

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

关于q-差分方程形式解的两个重要定理

刘富裕，王学芳， 曹 健

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

文章得到了两个关于q-差分方程形式解的定理，它很好的把差分方程与q-算子Dxy及θxy联系起来.利用此定理，可以优化一些经典公式、定理的证明.文章的第三、四部分将会有详细说明.

q-指数算子；q-差分方程; 差分方程；Euler公式；Rogers-Szegö多项式；q-Mehler公式

0 引言

众所周知，q-算子对应的差分方程，以及它形式解的应用，是当今计算数学研究的重要课题之一.Dq，θq算子对应的差分方程形式解以及它们推广的研究，已经相当成熟了.

2009年Lu[1]和Liu[2]分别把T(a,bDq),TbDq算子与q-差分方程巧妙的结合，并利用这种关系给出了许多推广和应用.2014年Cao[3]把差分方程的形式解，由原来含有3个参数的f(a,b,c)推广到5个参数f(a,b,c,d,e).

另外，自2003年Chen，Fu，Zhang[4]定义算子Dxy以来，众多学者深入研究了Dxy算子问题，也获得许多有意义的结果.其中，Saad，Sukhi[5]在Chen，Fu，Zhang[4]的基础上得到

并且给出了θxy算子的定义

进而得到

然而，对于作用于两个参数的Dxy,θxy算子与差分方程的结合，却一直鲜有研究.这导致它们的拓展与推广很受限制.鉴于此，本文受Liu[2]启发，将q-算子Dxy,θxy与差分方程巧妙结合，并给出了应用和推广.

(Ⅰ)f(x,y,z)是一个含3个参数的函数，且f(x,y,z)=(0,0,0)∈C.若f(x,y,z)满足差分方程

(x-q-1y)f(x,y,z)-z[f(x,yq-1,z)-f(xq,y,z)]+(yq-1-x)f(x,y,zq)=0.

那么有：

(Ⅱ)f(x,y,z)是含有3个参数的函数，并且(x,y,z)∈3,满足差分方程：

(q-1x-y)[f(x,y,z)-f(x,y,zq)]=z[f(q-1x,y,z)-f(x,yq,z)].

那么有：

第三、四部分论述了它们的对经典公式的拓展与推广.

1 预备知识

该文中，设0lt;qlt;1,对文所用的符号和术语作出如下规定[6]：

定义1对于任意的a,q∈C，定……