叶硕海,杨秀良

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

亏数为 1 的幂等变换生成半群的R*-关系

叶硕海,杨秀良

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

令Singn为 [n]={1,2,…,n} 上的奇异变换半群.En-1为Singn中亏数为 1 的幂等变换的集合，对En-1的任意非空子集I, 本文刻画其生成子半群S(I) 满足关系式

(α,β)∈R*⟺Ker(α)=Ker(β),∀α,β∈S(I)

的特征.

亏数为 1 的幂等元; 简单有向图; 变换的核; R*-关系

0 引 言

对半群理论可参考文[1]. 设Singn为 [n] 上的奇异变换半群, 对任意的α∈Singn,α的亏数定义为 def(α)=n-|im(α)|. 并且记En-1为Singn中所有亏数为 1 的幂等变换的集合, 它中任意一个元具有形式χ(a,b)(a,b∈[n],a≠b), 其中 (a)χ(a,b)=b,(t)χ(a,b)=t,∀t≠a. 设I为En-1的任一个非空子集, 令半群S(I)=I. 在文[2]中, Howie特征了S(I)=Singn. 此外，文 [3]证明了奇异保序变换半群On可由生成, 且为H- 平凡的正则半群. 文[4]证明了奇异递减变换半群可由 {χ(i,j)|jlt;i,i,j∈[n]} 生成, 且为H-平凡的富足半群. 文[5]综合[3-4], 进一步给出了S(I)为H-平凡的特征. 纵观文[2-3], 文[6]中给出了S(I) 为正则半群的充要条件. 进一步我们可探讨S(I) 为富足半群的充要条件.

本文中将刻画半群S(I)满足

(α,β)∈R*⟺Ker(α)=Ker(β),∀α,β

的特征，这里Ker(α)={(x,y)∈[n]×[n] | (x)α=(y)α}.

1 定理陈述

设I为En-1中的一个非空子集, 构造一个简单有向图D(I), 其顶点集为 [n], 其有向边集为E(D(I))={(b,a)∈[n]×[n] |χ(a,b)∈I}, 并称D(I) 为I的伴随有向图. 反之, 若有向图D以V(D)=[n] 为顶点集, 以E(D)⊆[n]×[n]-{(a,a) |a∈[n]} 为有向边集, 可构造En-1的一非空子集I(D)={χ(a,b)| (b,a)∈E(D)}, 并用S(D) 来表示由I(D) 生成的半群 (见文[2],[5-7]).

x1→x2→…→xn, ∀1≤j≤m-1, (xj,xj+1)∈E(D)

的子图称之为有向路径, 简称路径.

设S为任意一个半群,a,b∈S,S上的R*-关系定义为 (a,b)∈R*当且仅当a,b在一个包含S的半群中关于Green-关系R等价(见文[4],[8]).

定理1设I为En-1中的非空子集, 则下面条件等价

1) 在半群S(I) 中下面关系成立

(α,β)∈R*⟺Ker(α)=Ker(β),∀α,β∈S(I);

2) 在I的伴随图D(I) 中, 若存在以下D′ 的子图

→z→xm→…→x2→x1=x，

→z→ym′→…→y2→y1=y，

其中m,m′≥1 且 {x1,x2,…,xm}∩{y1,y2,…,ym′}=∅ 并且

∉{z,x1,x2,…,xm,y1,y2,…,ym′}.

则在D(I) 中……