王露梅

(陕西师范大学西北历史环境与经济社会发展研究院 陕西 西安 710062)

人力资本的最优投入路径和控制路径

王露梅

(陕西师范大学西北历史环境与经济社会发展研究院 陕西 西安 710062)

本文呈现了一个包含人力资本和物质资本投入的内生增长模型。人力资本和物质资本是拉动经济增长的两大主要动力是普遍接受的观点。本文关注人力资本对经济增长的作用，进而探索最优的人力资本投入路径，以及如何实现最优的配置路径。模拟的结果表明，人力资本的最优投入路径是时间的分段函数，在所考察的经济周期的前半部分，最优的人力资本应该保持在比较低的投入水平，大量的人力资本应该在经济周期的后半时期投入，同时最优的人力资本投入应该在最优的控制路径的指导之下进行。

人力资本;经济增长;最优投入路径;最优控制路径

一、 文献综述

20世纪60年代Solow提出的新古典经济增长理论认为，人口增长和技术进步等外生因素是长期经济增长的决定因素，认为经济最终会收敛到一条平衡增长的路径上。缺陷在于新古典经济增长模型将资本广义化，将人力资本和物质资本等同处理，没有体现出人力资本积累在经济增长过程的特殊作用和贡献，不能清楚地解释技术进步的原因和经济中的规模报酬递增现象。

20世纪80年代新经济增长理论的提出弥补了新古典增长理论的不足，强调知识积累、人力资本投资和技术创新对经济增长持续不断的作用，更加关注人力资本在经济中的作用，将“知识、技术”内生于模型中，认为技术进步取决于知识积累、人力资本的溢出等外部效应，并使生产出现规模收益递增。这一结果与20世纪60年代的新古典理论的预测不一致，主要原因是新古典主义理论单纯注重物质资本对经济增长的推动作用，忽视了人力资本的作用以及人力资本的边际报酬非递减性特征，认为外生的技术进步是经济持续增长的源泉。

相比之下，新增长理论认为，除了物质资本，人力资本的提升可以是内源性的。此外，它假定人力资本的投入不满足边际报酬递减规律，但是在将人力资本和物质资本作为总投入考虑时，总产出能保持边际报酬不变。在长期中，这些假设条件使得经济增长平衡成为可能，是内生的人力资本的积累而不是外生的技术进步拉动经济增长。通过强调人力资本在长期经济增长的至关重要的作用，新增长理论确实将新古典增长理论向前推动了一步。然而，新增长理论却忽视了人力资本是如何影响经济增长的，以及影响的机理和方式。

Robert M. Solow(1956) 提出了长期增长模型并做了静态分析，Hirofumi Uzaw(1965) 建立了关于资本-劳动的平衡点以及产出的综合模型，对静态模型进行了比较分析，但是没有提出动态的技术路径。 Robert E.Lucas, Jr(1988) 着重探讨了人力资本积累和物质资本积累以及经济增长的关系，虽然文章的观点对于后来经济增长理论的研究具有重大意义，但是作者并没有提出最优的人力资本以及物质资本的犹如路径，此外，文章也只是进行了静态分析。Job Graca, Saqib Jafarey and Apostolis Philippopoulos(1995) 研究了人力资本和物质资本之间的影响关系。JinliZeng(1997) 通过综合考虑资本积累带动经济增长以及技术进步两方面因素，探究了综合的内生增长模型。作者认为资本积累和技术进步都是内生性决定的，这两种不同类型的因素相互作用拉动经济增长。作者探究了最优的经济增长率和经济因素之间的关系，结果表明最优的经济增长率和人力资本积累、经济规模、生产效率、以及创新程度正相关，同时在非效率的情况下，经济增长率将偏离最优的增长率。文章的缺陷在于并未解释人力资本是如何影响经济增长的，也没有提及最优的人力资本的积累路径。

国内外有很多关于人力资本、物质资本与经济增长关系的文献，但是大多数都是从理论层面进行分析，很少有从数理的角度探讨人力资本是如何影响经济增长以及最优的人力资本的投入路径是什么，相应的最优的控制路径是什么。这也正是驱动本文进行这方面分析的动力所在。

本文中我们运用最大化原理、控制论知识、以及经济学原理探究人力资本的最优投入路径和控制路径。结果表明，人力资本的最优投入路径是时间的分段函数，其性质取决于经济体内部因素之间的相互作用，详细说来，取决于人力资本的折旧率、平均的物质资本投入水平、以及人力资本投入时间在总时间所占比例。最优的控制路径也是时间的分段函数，其性质取决于经济体内部因素。只有在最优的控制路径下的指导下，才能实现最优的投入路径。最后，我们通过计算机仿真模拟，以直观、形象化的方式呈现了最优的人力资本的投入路径和控制路径的动态变化，这也正是本文的创新之处。

二、 人力资源基本最优投入和控制的数学模型

(一)模型假设

(1)我们考虑一个封闭的经济体系，只有物质资本和人力资本两种投入要素；

(2)其中平均的物质资本的投入是固定的，经济体系内部不存在人口的自由流动；

(3)人口增长率不变；

(4)在一个经济周期内没有技术进步发生(即假设在所研究的时期内技术水平不变)；

(5)假设个人的总时间用来生产和教育，接受教育的时间即为人力资本投入的时间，而且个人可以自行决定工作时间和教育时间；

(二)模型建立

我们以考察时期内总产量最大化为目标函数：

(1)

人力资本的积累方程：

h′(t)=δ(1-u)h

(2)

其中:h代表人力资本，δ是人力资本的折旧率，为一常数。

(三)模型求解

我们的目标是求得左右的人力资本投入h*(t)和最优人力资本投入时间占比u*(t)。我们运用最大化原理，建立 Hamilton方程，表达式如下：

(3)

其中:λ是约束条件(2)的乘数因子

H关于u的一阶倒数：

(4)

求解上述方程，我们得到最优的人力资本投入时间占比u*(t)

(5)

很明显最优的人力资本投入时间占比u*(t)是h(t)和λ(t)的函数，所以如果能得到h(t)和λ(t)，就能求得最优的u*(t)。

H关于h的一阶倒数：

(6)

从(4)式我们可知：

(7)

然后(6)可以被化简为：

λδu+λδ(1-u)=-λ′

(8)

求解上述微分方程(8),我们可得到λ(t)：

λ*(t)=c1e-δt

(9)

最大化H关于λ的一阶倒数：

(10)

已知：

求解上述微分方程，得到最优的人力资本投入h*(t)：

(1)

最终求得最优的人力资本投入时间占比u*(t)：

(12)

三、 计算机动态仿真模拟

我们用计算机仿真模拟系统来模拟本文描述的经济系统。我们将模型中的参数和初试条件设定如下：

仿真模拟的过程和结果如下图所示。最优的人力资本投入在模拟的20年内一直增加，并且增加的速度越来越快，最优的人力资本的控制路径表明应逐渐增加人力资本的投入。

图1 计算机仿真模拟过程

图2 人力资本的动态模拟

图3 控制路径的动态模拟

四、 结果分析和结论

本文探讨了以物质资本和人力资本为基础要素投入的经济增长模型的最优人力资本投入路径和相应的最优的人力资本投入占比的控制路径。结果表明人力资本的最优投入路径是时间的分段函数，在所考察的经济周期的前半部分，最优的人力资本应该保持在比较低的投入水平，大量的人力资本应该在经济周期的后半时期投入，同时最优的人力资本投入应该沿着最优的控制路径的进行。为了实现经济最大的增长率，根据最优的控制方程的结果来看，应该在经济周期的后半部分进行较多的人力资本投入。

对于一个给定的经济体而言，最优的人力资本投入路径和控制路径是唯一的，他取决于经济体系的内部因素，比如平均的物质资本的投入水平，人力资本的折旧率，人力资本和物质资本的投入占比，技术水平，以及其他的经济因素。沿着最优的投入路径和控制路径，经济体可实现最大的经济增长率。同时，最优的投入路径必须沿着最优的控制路径进行。

[1]Robert M. Solow, A Contribution to the Theory of Economic Growth, The Quarterly Journal of Economics, Vol. 70, No. 1 (Feb., 1956), pp. 65-94.

[2]Robert M. Solow, Technical Change and the Aggregate Production Function, The Review of Economics and Statistics, Vol. 39, No. 3 (Aug., 1957), pp. 312-320.

[3]Hirofumi Uzawa, Optimum Technical Change in An Aggregative Model of Economic Growth, International Economic Review, Vol. 6, No. 1 (Jan., 1965), pp. 18-31.

[4]Robert E.Lucas,Jr. On the Mechanics of Economic Development, Journal of Monetary Economics 22 (1998)3-42. North-Holland.

[5]Job Graca, Saqib Jafarey and Apost0lis Philippopoulos, Interaction of Human and Physical Capital in a Model of Endogenous Growth, Economics of Planning 28: 93-118, 1995.

[6]Alberto Bucci.Davide La Torre, Population and economic growth with human and physical capital investments, Int Rev Econ (2009) 56:17-27.

[7]Jinlin Zeng, Physical and Human Capital Accumulation,R&D and Economic Growth, Southern Economic Jounal,Vol.63,No.4(Apr,1997), pp.1023-1038

[8]Wei-Bin Zhang, Endogenous Population with Human and Physical Capital Accumulation, Int Rev Econ (2014)61:231-152

[9]Yoram Ben-Porath .The Producti of the Human Capital and the Life of Earnings, the Journal of the Political Economy ,Vol .75, No.4, Part 1(Aug, 1967), pp.352-365

[10]Anna Sjogren, Human capital, R&D and Economic Growth, Working Paper Series in Economics and Finance No.238,May 1998

王露梅(1990- )，女，陕西安康人，陕西师范大学西北历史环境与经济社会发展研究院,人口、资源与环境经济学专业2015级硕士研究生，研究方向:资源环境科学。