顾晓东

几何直观作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下称《标准》）中的十大核心概念之一，具有丰富的内涵。《标准》指出，几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。在教学实践中，笔者认为，几何直观是指利用实物、形体模型、几何图形及直观符号等展开直观化的信息加工过程，形象描述数学对象，形成直观表象，展开数学联想，从而有效探索和解决数学问题的一种认知方式和能力。几何直观沟通了儿童形象思维与数学抽象逻辑之间的联系，帮助学生直观地理解数学，使复杂的数学问题直观化，抽象的数量关系形象化，实现了问题与图形之间的转化，有助于探索解决问题的有效策略。 那么，如何提高学生的几何直观能力呢？笔者认为，要重点把握几何直观运用的三个基本阶段，突出几何直观能力培养的三个重要层次。

一、把握几何直观运用的三个基本阶段

当学生面临的实际问题具有一定的复杂性和抽象性时，就须要借助几何直观来加以解决。在运用几何直观手段时，一般要经历以下三个基本阶段。

1.准确建构几何直观形象，让描述与图形相随

几何直观就是要让原本复杂的问题描述内容变得简明化、直观化。因而当学生遇到一个较为复杂的问题时，首先要根据描述的文字内容准确建构出与之相符的几何形象来，为后续的几何探索和分析奠定基础。如四年级学生在解决面积变化的实际问题时，有一道典型题目：梅山小学有一块长方形花圃，长8米，在修建校园时，花圃的长增加3米，面积增加了18平方米，现在花圃的面积是多少平方米？由于题中的文字信息比较复杂，学生一开始会显得一头雾水，无法准确理解题意。此时，就需要学生迈出几何直观的第一步，即根据文字信息准确地建构起几何形象，使文字描述与图形结合起来，从而清晰、直观地看到题中各条件之间的关系，进而顺利进入到下一步的分析中去。

2.灵活展开几何直观分析，让思维与图形共行 通过建构几何图形，一方面能使繁琐、复杂的问题变得直观形象，另一方面由于几何图形中存在的各种关系比较清晰，有利于学生灵活运用几何思维，展开几何分析与探索。如上题中，当学生完成几何形象建构之后，可以从不同角度灵活地进行几何分析：可以先求出现在长方形的长，再乘宽，得出面积；也可以先求出原先长方形的面积，再加上增加的面积，从而得出现在花圃的面积。两种方法的相同之处是都要先根据增加部分（即一个小长方形）的面积和长增加的长度，求出原来长方形花圃的宽。在这样一种基于几何图形的直观分析中，学生的思维过程始终是与直观呈现的图形要素相联系的。

3.有机实现几何直观转换，让表达与图形互进

几何直观促发了几何思维，但这一思维过程还要与题中数量关系分析结合在一起，实现基于几何推理的数量关系分析，从而使几何思维过程顺利转换为数量关系和解题思路的准确表达，即再次由图形语言转换为文字表述。如六年级学生在学习用替换策略解决实际问题时，有这样一道题目：王老师买了3本科技书和5本文艺书，共花了50元钱，一本科技书比一本文艺书贵6元。科技书与文艺书的单价各是多少元？借助直观的线段图，学生能比较敏锐地发现：如果把线段图中科技书单价贵的部分去掉，就和文艺书单价相同了。这样，一种借助于几何直观的假设推理过程就在学生头脑中形成了：假设科技书单价便宜6元，与文艺书相同，那么就变成50-3×6=32元，而这32元则相当于3+5=8本文艺书的总价。在借助几何直观解决问题时，直觀只是一种手段和方法，最终还需要学生将直观思考和几何推理表述为一种清晰的数量关系，从而顺利解决问题。

以上三个方面只是剖析了几何直观作为一种方法运用时的基本阶段或步骤，其实这几个方面在具体实施几何直观描述和分析问题时，往往是糅合在一起的。此时就需要教师引导学生借助几何图形，作出更为准确的几何分析与推理，顺利找到解题思路。

二、突出几何直观能力培养的三个重要层次

小学阶段是几何直观能力培养的起始阶段，也是至关重要的阶段。《标准》在学段目标的数学思考中提出，在小学阶段要让学生感受几何直观的作用。这意味着小学阶段要结合具体的问题情境，让学生经历运用几何直观的过程，感受其价值，并能初步运用几何直观解决问题。因此，教师在日常教学中，要注重学生几何直观意识的培养，帮助学生建构各种有效的几何直观模型，积累和丰富几何直观经验，进而内化几何直观的数学思想。

1.重视画图，培养几何直观意识

有经验的数学教师常常会反映，在解决一些实际问题时，学生往往是被教师要求才画图的，甚至许多学生是在解决问题之后才画图的。此时，画图不仅不是解决问题的有效手段，反而成了学习上的一种的附庸和累赘，无法真正发挥几何直观的作用。为此，我们在教学中要结合实例重点指导画图方法，适时引导反思，凸显几何直观的价值，培养学生运用几何直观的意识。

（1）结合实例加强指导。低段学生以模仿为主，缺乏模型建构的能力。因此，教师应从低年级开始，注意结合一些典型例题，重视画图分析策略，加强画图方法指导，潜移默化地让学生对画图策略产生好感。如在一年级教学“求少掉多少的实际问题”时，教师在引导学生理解题意，分析数量关系时可以借助问题本身的实际情境，先让学生借助手势来描述实物图的基本内容，然后启发学生将手势演示的内容用线条画下来，慢慢指点学生形成直观的几何图（图1），最后再引导学生借助直观图来分析和理解“求少掉多少”的数量关系。教师有意识地、经常性地运用画图策略解决问题，并在“如何画”上给予学生一定的帮助，长此以往，能够潜移默化地给学生以启示：遇到问题可以先画图，再看图思考。

（2）适时对比引导反思。学生运用几何直观的良好意识是在不断获得成功体验、自觉进行反思的过程中逐步形成的。如果只是偶尔呈现相关材料，只有短时效应。因而教师要选择一些典型的几何直观运用问题，让学生反复练习，并着重引导学生对利用画图解决问题的过程进行反思，让他们在反思中深刻体会和感受到运用几何直观的优势。如上文所述“梅山小学操场扩建”的问题，教师在呈现例题时，可以设计两种形式的例题（文字题和图画题），让两部分学生（不知情的）分别做其中一种，在解题过程中学生会感到了不公平，拿到图画题的学生轻而易举地解决了问题，而拿到纯文字题的学生则无法快速解答。在这样一种对比中，学生能深切地体会到画图思考问题的优越性。endprint

2.丰富模型，提升几何直观水平

几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、显性化，培养学生的数学直观领悟能力。在小学数学教学中，教师应帮助学生掌握一些典型的几何直观模型，提升其几何直观水平。

（1）善用数轴模型，化抽象为形象。数轴是运用几何直观的最佳模型之一，灵活应用数轴，能够化抽象为形象，帮助学生更加直观、深入地认识数，更准确地理解数与数之间的关系，对发展学生的数感起到积极作用。如在教学近似数时，让学生解决“2.24更接近哪个一位小数”，目的是让学生理解取一个数的近似值的原理，体会这个近似数的精确度。有些学生会存在困难，此时借助数轴模型就可以直观、形象地理解近似数的取值原理，如图2：

从图2中，学生可以直观地看到2.24与2.2之间的距离是4格，而与2.3之间的距离是6格，因而2.24更接近2.2。在直观模型的帮助下，化抽象为形象，帮助学生理解“四舍五入”取近似数的原理。

再如在比较近似数的精确度时，如“1.5和1.50都是1.496的近似数，哪一个更精确？”这样的问题抽象程度比较高，学生不易理解。借助数轴模型，学生就能轻而易举地解决问题了。（图3）

从数轴上，学生可以清楚看到约等于1.5的是两位小数，其范围是1.45～1.55，而约等于1.50的是三位小数，其范围是1.495～1.504，范围比前者小，显然精确度更高。

（2）多用线段图模型，化模糊为清晰。线段图是用来表示实际问题中数量关系，帮助学生分析问题、解决问题的重要手段。尤其是面对一些条件复杂、易混淆的实际问题，它能充分体现从抽象文字到清晰呈现、直觉感悟的价值。如“一条20米长的路上，每隔5米种一棵树，一共可以种多少棵树？”对三年级小学生来说，具有一定的迷惑性，他们一开始都会把它看成以前所学的平均分的实际问题。此时，教师就可以引导学生主动画线段图，用图表示出“每隔5米种一棵”究竟是怎样的，经过讨论明确，以点代表树，以线段代表间隔5米，画出两端都种的基本型，在直观图中清晰看到点数总比段数多1（即棵树比间隔数多1），进而继续研究另外两个变式。借助线段图模型，学生的认知难点得到了自然突破。

（3）活用面积图模型，化晦涩为直白。画面积图是解决问题的一种策略。学生利用面积变化图能将一些表述晦涩的问题信息变得直白形象，从而有效地分析题意，探索解题路径。因而，用好面积图模型，能提高学生几何直观的水平。例如在高年级学习鸡兔同笼的假设问题时，我们通常是利用假设的策略，来引导学生抽象地理解解题思路。其实，我们也能引入面积图模型，帮助学生直观分析。

图中用长方形ABCD的面积表示鸡的脚数，长方形HDEG的面积表示兔的脚数，当我们把每只兔也看做2只脚时，鸡兔总脚数就可以用长方形ABEF的面积来表示了，算出是16×2=32只，比原来总只数少了44-32=12只，这个12只在图中就是长方形HCFG的面积。从图中还可以看到长方形HCFG中宽FG是4-2=2，因此可以求出长CF是12÷2=6，也就是兔的只数。这样通过一幅直观的面积图，将原本晦涩的题意表示得很直白，让学生借助几何思维解决了实际问题。当然，这样的思考过程需要学生具备一定的几何直观能力。但我们可以将这种几何直观方法与原先的假设思路加以比较，让学生能够深刻体会几何直观的妙处，从而慢慢体会到几何直观的便利性。

（4）巧用连线图模型，化内隐为外显。连线是低年级学生解决一些生活中的数学问题的常用方法。其实在中高年级的一些实际问题解决中，我们仍可以引导学生活用连线模型，巧妙而直观地解决问题。比如在学习“搭配的规律”时，就可以让学生进行连线搭配，把头脑中内隐的思维过程外显出来，通过有序的连线，把各种搭配情况一一列举出来。

3.内化积淀，发展几何直观思想

几何直观能力的培养不是一蹴而就的，须要经过长期的、有意识的训练。而发展几何直观的数学思想，更是需要学生在运用的过程中逐渐积累起丰富的经验，体会到其真正的价值，进而形成一种稳定的数学思想。

（1）引导学生借形观数，直观表征，积累几何直观经验。教学苏教版《数学》六年级上册“分数除以整数”一课时，出示教材问题情境之后，先让学生观察量杯的实物图，接着引导学生将其抽象成长方形图，继续观察几何直观图，进而在长方形图中画一画、想一想，学生能够轻松地发现计算方法。在这一解题过程中，学生凭借着自身积累的画图经验，借助常见几何图形来直观表征数学问题，在解决问题过程中进一步强化画图意识、提高画图能力、积累直观经验，为发展和形成几何直观思想奠定坚实的基础。

（2）启发学生借形思法，直观顿悟，发展几何直观思想。学生借助几何直观图，通过几何思维的推理和演绎，能够获得一些一般性的解题思路。而有时借助几何直观图，学生还能独辟蹊径，顿悟出一些特殊方法，形成一些创造性解题思路，从而迅捷地解决问题。如教学苏教版《数学》四年级下册“用画图的策略解决面积问题”中“练一练”的题目时，学生根据题意画出直观图，标好有关的条件数据：

一般情況下学生能找到常规思路和方法，用150÷5×（20-5）=450（平方米）。但也有学生从图中直接顿悟出用150×3=450（平方米），这表明学生在长期的几何直观能力训练中，已经能从直观图中实现顿悟。

总之，几何直观能力的培养应渗透在小学数学教学的各个方面。教师要善于结合教材资源，帮助学生形成画图的意识，逐步培养学生运用几何直观描述和分析问题的能力，从而提高学生的数学素养。

[责任编辑：陈国庆]endprint