◇姚林涛

梯子长了，坡度也就小了
——以“竖式除法”为例谈“化错教学”

◇姚林涛

教学过程：

我们来欣赏一份学生作品（如图 1）。这是我在教学“三位数除以两位数”时学生出现的写法。

图1

当时我有些疑惑，仔细看后心中一阵激动：商是对的，计算过程这样写可以吗？如果可以应该怎样评价？这个资源的价值在哪儿？如何凸显？怎么利用？如何让学生在知识之外能从思想方法或情感、态度上有所得？思考之后便有了下面的交流环节。

师：殊途同归，过程不一样，想法也会不同，期待不一样的精彩。我们先来静静地看一看这两种方法。（如图1和图2）

图2

片刻后，有人点头，有人举手质疑，有人眉头微锁……

师：好了，让我们带着思考来交流一下，先交流哪种？（我随手根据竖式特点在图1上面写上“长”，在图 2上面写上“短”）

也许是因为初见，“长”的呼声很高。

“好，有请！”

他大步走上讲台说：“我根据‘四舍五入’法把24看作20去试商，28里有1个20，所以在十位上商 1，1×20＝20，28－20＝8，而除数是24，所以还少算一个4，1×4＝4，8－4＝4。再把个位上的8落下来和余下的4个10组成48，48里有 2个 20，所以在个位上商 2，2×20＝40，48－40＝8，同样还少算了一个 8，2×4＝8，8－8＝0，正好除完，所以 288÷24＝12。”

我默默地注视着大家，不置可否，期待同学们的回应。有人茅塞顿开，也有人不明就里。

师：能借助分实物的过程解释一下你的思路吗？比如，这是288支铅笔，这是2箱（手指被除数百位上的2），这是8盒（手指十位上的8），这是8支（手指个位上的8），要平均分给24个同学。

生：2箱没法整箱平均分给24位同学，就把2箱拆成20盒，与8盒组成28盒，先分给20人每人1盒，还剩8盒再分给剩下的4人每人1盒，还剩下4盒。再把4盒拆成40支，和8支组成48支，先分给20人每人2支是40支，剩下8支再分给4人，每人2支正好分完。这样每人分1盒2支也就是12支。

台下自发地响起了掌声。

师：真好！果然有想法、有创造。老师也是头一次看到这样的竖式，化难为易，很巧妙地解决了平均分的问题，佩服！“长”方法分享完了，那“短”方法怎么解释？有请。

学生叙述方法，略。

师：确实不一样，不一样在哪儿呢？

生：一个是分着乘的，一个是合一起乘的。

师：能具体说一说吗？

生：他们第一步都是在十位上商1，但“长”方法是先用1乘20得20,28减20之后再用1乘4 得 4，再用 8 减 4；而“短”方法是用1直接乘24得24，再用28减24，后面也是一样。

师：你们喜欢哪种写法？

生：我喜欢第一种，第一种算起来更简单，更能看清每一步的过程。

生：我喜欢第二种，第二种更简洁。

师：看到除法竖式，我想到了生活中登高用的梯子，一阶一阶的。像吗？（生：像）登高的梯子不止一种，（手指第一种）梯子长了，坡度也就小了，想象一下，是吗？步数多了，每一步就会更轻松。（手指第二种）能力强了，步子就大了；步子大了，用的步数就少了，对吗？这两种方法各有优势，最关键的是都到达了理想的高度，真好！

我的思考：

一、关于竖式

有了这个案例，我去追问竖式的本质，去了解有着上千年历史的除法竖式所经历的若干次的演变过程。《筭数书》中关于除法的表示方式共有7类19种涉及55条。我在想：竖式格式真的重要吗？当然重要，它是几千年演变过程的高度概括，是数代人智慧的结晶，对计算的发展史有着深远的价值和意义。但对于四年级学生来说，这个意义更大还是根据自己的知识经验创造出的竖式书写方式意义更大？既然竖式是计算过程的记录方式，是不是意味着算法不同记录的方式、过程自然不同？也就是说竖式书写方式有优劣之分而无对错之别？所谓的正确格式可能只是模仿，而错误的格式肯定是创造，是学生根据自己的“除法就是平均分”的操作经验完成的从操作到算式表达方式的统一。这样的探索过程，不仅进一步明确了算理、锻炼了表达，更发展了学生的创新意识。

二、关于化错

这是错吗？如果从教育“中国制造”的视角看，它也许是一个不合格品，不合唯一正确的标准答案的格。如果从“中国创造”的视角看，它肯定是一个优质品，优的是独立思考、创新思维的质。教育要实现从“中国制造”向“中国创造”的飞跃，这样的“错”理应得到肯定和赞扬。让化错成为教师的教学理念，化作教师的一种教育自觉；用化错保护、滋润学生的创新意识，培养出一批批不仅合格而且优质的新时代的人才。

“出错”的这个学生收获了什么？这样的书写方式一定是他在明白算理的基础上创造的，是从具体到抽象的重要意义的提升。首先他收获了知识，同时发展了思维。教师的赞赏、同学们的掌声是不是又能使他产生愉悦的学习情感体验，增强他学习的动机？试想如果当时我能再加上一句：你的这种书写方式说不定就是《筭数书》里55条中的一条呢！是否还会引起他的持续关注，对他后续深入学习产生积极的影响呢？

同学们收获了什么？梯子长了，坡度也就小了。这样的概括、引领意义何在？有方法吗？有思想吗？是哲学道理吗？也许很含糊，但也许都包括吧。学生能在这个具象的概括中感悟到什么或能在以后的现实情境中联想到这个具象化的例子，就是我所追求的。

课后我翻阅了英国教材和美国教材，发现各国教材中竖式的格式都不尽相同。如果课前我有这样的教学储备，就可以在学生交流之后呈现给他们，那样是不是更能让创造竖式书写方式的同学产生一种创造之后的成就感，继而不唯书，不唯师，保持一种对探究的浓厚兴趣？是不是更能让同学们在对比中感受中国竖式的优越性和合理性，从而更加认可我国竖式格式的简洁和有效，并产生一种民族自豪感和对数学学习的一种元动力？

三、关于教育

教育的综合改革正在深入推进，随着我们从 “知识核心时代”走向“核心素养时代”，教育的价值、功能也在随之改变。传授知识是为启迪智慧，启迪智慧是为点化生命，化人、成人是教育的最终目的。化人，就应培养学生发展所需的必备品格；成人，就该培养学生发展所需的关键能力。化错可“培养学生直面错误、超越错误的求真人格，学做真人，将教学活动引向深入，引向心灵深处，而不仅仅是促进认知的发展”。（华应龙语）此谓必备品格。“有差错，才有真正的学习，才有实质性的学习活动发生；有化错，才有我们期待已久的主动学习、独立思考、创新活动的发生；有化错课堂，才有学生快乐健康的成长。成长发生在化错中。”（华应龙语）此谓关键能力。可见化错教学可使教育完成这样的转变，从而到达新的高度。

差错是梯子，是让我们向上爬的！

（作者单位：北京第二实验小学大兴实验学校）