◇ 华应龙

真空妙有，『面』上生花
——以『认识面积』一课为例

◇ 华应龙

编者按：

“人生自古谁无‘错’？学生尤甚”“有‘化错’，才有真正的学习”“教育就是教己育人，正己化人，以人育人”……在从“知识核心时代”走向“素养核心时代”的历程中，全国著名特级教师华应龙基于“融错教育”“化错教学”等研究，进一步提出了“化错教育”的新主张，并带领他的团队在教学中积极探索、实践。本专辑从多角度、多方面记录华老师及其团队最新的研究成果，以飨读者。

【教学内容】

北师大版教材三年级下册“什么是面积”。

【课前慎思】

一、怎么理解“面积”

什么是面积？什么是面？什么是积？学生最不好理解的是“面”还是“积”？“面”和“积”又是怎么联系起来的？面积具有可加性，那么面积为什么不叫“面和”？

一张扑克牌有正反两面，撕去一面还有两面，再撕去一面还有两面，可否理解为面是很薄很薄且只有长宽没有厚度的？

不同的教材都有类似的“物体的表面或平面图形的大小就是它们的面积”，我不禁要问：那么，“物体的表面”和“平面图形”是什么关系？为什么到面积了，要这样正式？而三年级上学期刚刚学的“什么是周长”不是这样正式，就没有这样的学究味，只是借小蚂蚁的嘴说“我爬过一周的长度就是树叶的周长”，借小鸟图说“图形一周的长度就是图形的周长”。

什么活动才能帮助学生更好地理解“面积”？有的老师认为“相比长度，面积更为抽象”。好像面积不抽象吧？台湾地区的吕玉英老师说：“面积这个量的属性是可以通过感官掌握的，可以用手比画或目视大小的。”面积也是具象的，线段只有长度，也就是只有一个向度，而面积不仅有长短而且有宽窄，也就是有两个向度，学生对面积的学习经验和生活经验少些罢了。我们能设计出有针对性的活动，帮助学生从一维发展到二维，就可能降低认识面积的难度。

以“积”开头的成语有：积少成多、积露为波、积沙成塔、积水成渊……那么，从数学上来说，是积点成线、积线成面吗？可以这么说吗？

牛顿在其名著《流数法与无穷级数》的前言中说：“可以把数学中的量看作是连续的运动产生出来的。”这句话是不是告诉我们，几何形体不仅可以从形状上看成是运动生成的，其求积问题也可以用运动的方式加以研究呢？

这样教学的前提是，现实地认为线是有宽度的。这就与人们常说的 “点没有大小、线没有粗细、面没有厚薄”相冲突了，怎么办？怎么解释？现实中哪条线没有宽度呢？为什么要说“线没有粗细”？我请教了三位研究数学教育的教授。第一位教授说：“数学上，点没有大小、线没有粗细、面没有厚薄是欧几里得的《几何原本》中的规定，它们是原始概念，没有理由。”第二位教授说：“线是一维的，只有长度，没有粗细；点是零维的，如果有大小，就是二维的圆了。”第三位教授告诉我：“那是因为点和线是对现实世界的抽象，因此与具象有关的大小、粗细，对抽象的点和线没有实际意义，大点或小点、粗些或细些都不影响我们讨论问题。”那是否可以这样理解：“线没有粗细”是说在讨论数学问题时，线的粗细被有意忽略了。你说有还是没有，它都在那里。在这节课上，线的粗细被我重视了。

二、怎么比较面积的大小

“比一比，谁围的面大？”这是老师常常采用的教学活动。怎么比较大小？比较什么图形的面积大小？生活中常见的是不规则的图形，学生掌握不好的也是不规则图形的面积。一开始就比较不规则的图形，是否太难了？看不出来的又怎么办？可不可以用涂满的方法来比？画线来比行不行呢？好像有些荒唐，不过这样比可以很好地突出面积的意义啊。画出的线是有粗细的，是不是就是用长方形来比的呢？我们的祖先就是将假定图形化为宽边为一个单位长度的长方形，以这个长方形长边的长度来表示面积大小的。

比较两个长方形的面积，可以重叠的，不用画线了；重叠也比不出的，可以提供印泥，用大拇指来盖，再用小拇指来盖……剪下来称？用天平称？2011版数学课标及相应的教材，为什么删掉了“能用自选单位估计和测量图形的面积”的要求？

三、追求怎样的课堂愿景

以前的教学设计，常常移步换景，一节课要出现15个左右的情境素材，是不是太多、太碎、太杂？能否简单些、丰富点？抓住一个素材好好品味？

搜索马航失联客机MH370的报道，学生一定听到不少。原本感觉地球是个很小很小的地球村的人们一下子醒悟过来，原来地球还是很大很大的。“搜索面积”可否拿来教学？是否人道？

数学是讲道理的。数学课是不是可以让学生借着数学知识的学习，来初步学会怎样讲道理？小学生能够接受的讲道理是怎样的？举正例、想反例？这对三年级的学生来说，是否太高了？

保罗·洛克哈特在《一个数学家的叹息》一书中说：“数学是一门‘艺术’。”我们的小学数学是否应该更加艺术？可以试一试。

基于以上的思考，我制定的本节课的教学目标是：（1）理解面积的含义，会比较面积的大小，进一步建立空间观念。（2）初步学会“举例子，讲道理”。（3）感受到思考数学问题的乐趣。

【课堂实录】

一、创成语，解读“面”

1.讲故事，创成语。

师：暑假，我去闻名遐迩的凤凰城旅游（幻灯片播放旅游照片），领略了那里的美景，有一处景色让我记忆犹新（播放手工织布视频），看到这个过程，我想到一个成语（板书：积 成 ）。你能说出关于“积 成 ”的成语吗？

（生答：积少成多、积土成山、积劳成疾、积非成是、积善成德……）

师：是啊，关于这样的成语还真不少。（幻灯片出示：积土成山、积水成渊、积善成德）这些成语有什么共同点？

生1：都是一点一点积累的。

生2：都是越积累越多的。

师：是啊，都是“积小成大”（补充板书）。回过头来再看看织布的过程，我们能不能创造一个关于“积 成 ”的成语呢？

生：积线成布。

师：布就成一个面了，是不是可以说“积线成面”呢？

2.举例子。

师：生活中还有积线成面的现象吗？

（生有些茫然。师微笑并用课件播放图片：凉席上睡一个小孩、吊帘等）

生1：（着急地）凉席中有积线成面。

生2：帘子中也有积线成面。

生3：衣服中也有积线成面。

师：（对生3笑）你是我的托儿！今天我有意穿了这件衣服（指着自己衣服上的竖条）。积线成面，有的是平面，有的是曲面。

生4：我裤子上破了个洞，妈妈帮我用线补上了一朵花！

师：你妈妈有一双积线成面的巧手！

……

师：（平端起一本厚书）这本书有几个面？

生：6个。

师：它的前面是怎么形成的？

生：积线成面。

师：（课件播放书本的前面积线成面的过程。再平端起两本薄厚不同的书）这两本书的前面都是积线成面，哪个面大？

生1：左边这本大。

生2：右边这本大。

生3：不对不对，我们的右边是老师的左边。

师：（大笑）我以为我们班的孩子是左右不分呢，开个玩笑。（将两本书一本举高，一本举低，如图1）这样呢？

图1

生：高的那本面大。

师：如果一个人在很远很远的地方，看不清哪个面大。但可以问我一个问题。我一答，他就知道哪个面大了。你觉得我可以问什么问题？

生：页数。

师：哦，我们来看一下，左边这本是478页，右边这本是325页。

生：（齐）左边的面大。

师：看来同学们都明白——同样粗细的线，积得越多，面就越大。

3.总结。

师：今天我们一起创造了一个“成语”——

生：积线成面。

师：这样，我们以后再看到面的时候，你就能看到别人可能看不到的——面的里面有许许多多的线。

二、听故事，比较“面”

1.看动画，比大小。

师：面的里面除了线，还有什么呢？来，我们一起看动画《白雪公主要来了》，边看、边想、边交流。

（课件播放白雪公主的故事，抛出第一个问题：白雪公主要选择两张床中的一张，哪张床大呢）

师：表达床面的大小，有个词是两个字的，你知道吗？

生1：周长。

生2：面积吧。

师：面积，听说过这个词儿吗？（一大半学生举手表示听说过）在哪儿听说过？

生：一个新房子的面积有多大？

师：家中买房了吗？一般地，新房子的面积比旧房子的面积——

生 1：大。

生2：老师刚刚说过这个词。

生3：工地的面积或者公园的面积。

师：是啊，它们都有面积。（课件出示两个长方形床面）哪个床面的面积大呢？

（学生意见不一）

师：怎样才能没有争论？

生：把那张长的割一下，补过来。

师：好！还有不同的办法吗？

生：用下面的垫子摆。

师：心有灵犀！（课件播放往床上摆一模一样垫子的过程）现在有办法比较大小了吗？

生：可以数。

师：快数一数。

生：左边的床摆了12个垫子，右边的床摆了14个垫子，右边的床大。

师：还有不同意见吗？（生：没有）左边床面的面积是——12个垫子，右边床面的面积是——14个垫子。谁大谁小，不会再争论了，这就是数据的力量。哦，借助一个标准，一个参照，数一数，就能比较出面积大小了。

（课件继续播放故事，抛出第二个问题：有3块镜子，哪块镜面大？让学生自己想办法比较大小）

师：是不是感觉不好比较？我们继续听故事。（课件播放在镜面上铺手帕的过程，如图2，前两块镜面上铺的手帕一样大，第三块镜面上铺的手帕比较小）现在可以比出来吗？为什么？同桌之间说一说。

图2

生：不行，最后那块镜面上的手帕不一样大。

师：怎样才好比较？（生说手帕大小要一样。课件播放第三块镜面上铺与前两块镜面上一样大的手帕）现在能比出大小吗？

生：（开始，有的说能，有的说不能。最后，都认为能）3块镜面上铺的都是4块同样大小的手帕，第三块镜面上还有一小块没有铺上，所以第三块镜面的面积大。

师：哦，比较面积大小时，选的标准要一样。（课件继续播放故事，抛出第三个问题：两张餐桌，哪张餐桌的桌面大）有办法比吗？4人小组讨论讨论，拿出一个方案。

生：摆盘子。

师：（微笑）是啊，我们可以在餐桌上摆餐具。

（课件出示在长方形桌面上摆盘子的过程：如图3，第一个桌面上每列摆5个，摆3列，前两列摆满，第三列只摆了2个盘子；第二个桌面上每列摆7个，摆2列，第一列摆满，第二列只摆了1个盘子。看完后，有的学生不解地“啊”了一声）

图3

师：对啊，没铺满，能比出来吗？

（4人小组交流后）

生1：左边可以摆15个盘子，右边可以摆14个盘子。所以，左边的餐桌面积大。

师：（疑惑的样子）左边可以摆15个盘子？为什么加“可以”两个字？

生1：左边摆了12个，空3个，一共可以摆15个盘子。

师：哦，没摆的3个盘子我们可以用想象给摆上，“可以”这个词用得好，严谨。

师：现在没意见了吧？左边餐桌面的面积大，对吧？（生：对）有没有疑问？

（生无声）

师：（意味深长地）这个可以有。

生：盘子的个数能比，但是中间还有空隙，怎么比呢？

师：你看，这个问题提得多好，真是个好问题，掌声！空隙要不要算？

（生有的说“要”，空隙是餐桌面积的一部分；有的说“不要”，都有空隙，抵消了）

师：中间的空隙到底要不要算？实际上，我们可以想象，盘子的外面是套着一个正方形的。（课件显示盘子上“套”正方形的过程，学生看后恍然大悟）这样，这些空隙都可以用想象铺满。

2.比较共同点。

师：（课件播放故事的结尾）故事讲完了，大家似乎还没听够。回头看看（课件展示比较床面的面积、镜面的面积、餐桌面的面积图案），从中我们有收获吗？比较一下，有什么共同点？

生：我们都摆了东西，从而比出了大小。

……

师：同学们很会总结！从这个故事中，我们知道了比较面积大小的时候，第一，选一个小面做标准，做参照，做单位；第二，在比较的时候，选的标准要相同；第三，尽量铺满，但不一定能铺满，可以用想象来铺满。

3.做出创意。

师：刚才比的是床面、镜面、桌面的大小，如果请你比较正方形和长方形的房间哪个大，你打算怎么比较房间地面的大小？

师：作为学生，不仅能动脑，还能动手。动手画一画，比一比。

（课件出示：比一比，谁更会创造。①看一看：是正方形的面积大，还是长方形的面积大？②想一想：想想面的里面有什么，就好比较它们的大小了。③画一画：画出你所想的，并借助它比出谁大谁小）

师：请同学们拿出课前老师发的练习纸（练习纸上有一个正方形和一个长方形，且课前交流时学生已在练习纸上写好名字）。不着急，优秀的人三思而后行，想好了再动笔。怎么画，既能比出大小，又可以节省时间，还好玩？

（倒计时3分钟，学生独立创作。教师巡视，并用纸、笔记录学生的比较方法）

师：我们来交流一下吧。

（实物展台展示生1的作品：两个图形上各画一个白雪公主，如图4）

生1：让白雪公主直接躺在床上。

生2：你的两位白雪公主画得大小不一样。生1：那是我没画好。

师：看上去确实不一样大，不过你心里知道是一样大的，真好玩！（微笑、善意提醒：现在是比房间地面大小，不是比床面大小）掌声感谢他提醒我们。能动手画出心中想的，是一种能力。

师：我们再看下一位同学的作品。

（展示生2的作品，如图5）

图4

图5

生2：第一个图形分成了4个正方形，第二个分出2个正方形，还留下一些。

师：你知道画一样大小的正方形，非常棒！留下的部分怎样更好比？看看这个作品。

（出示老师的画法，如图6）

图6

师：（对生2笑）你看，你是不是我的托儿？这样能比出来吗？

生2：左边是4个正方形，右边先有2个，上面又可以组成1个，右边……

生3：反正右边剩下的部分不够一个正方形，所以原来正方形的面积大。

（全班学生频频点头）

师：（微笑）我们再来看生4的作品（如图7）。

图7

生4：左边20个盘子，右边28个盘子。

师：可是刚才不是正方形的面积大吗？怎么现在成了长方形的面积大？

生：盘子的大小不一样。

师：（微笑）看来是因为盘子大小不一样造成的，不过这位同学的作品里有没有值得我们学习的地方呢？我们看别人的作品要看到好的地方。

生：用圆圈画比较好。

师：刚才有同学拿笔帽去圈，那样圈出的圆是不是就一样大了？还有什么好的地方？

生：在图形的下面写出了个数。

师：我觉得生4是一个很了不起的同学，她写出的个数，告诉我们她知道了面积就是面里面的小面的个数。而且她只画出了一部分，留了空白，是不是可以节省时间呀？真了不起！

师：我们看看这位同学又是怎么创作的。（展示学生的作品，如图8所示）谁来评价一下他的作品？

图8

生1：这位同学是用尺子画的。

生2：他画满了。

生3：他比出了结果。

师：这会儿大家都能看到别人的长处了，给自己鼓掌！

4.小结。

师：（师生作品一屏呈现）谁能总结一下，我们是怎么比较两个面的大小的？

生1：都在图形里画了东西。

生2：画的都是一样的东西。

生3：不管画满还是不画满，都是数出里面可以摆多少个。

师：（欣赏的目光，直竖大拇指）那就是数小面。回到开始的成语上来，积小成大，在这节课上，其实就是积小面成大面。

（师把板书补充完整：“积小面成大面”）

师：（课件出示凉席图片）“积线成面”的“线”是什么？是不是一个小面？对，这里的“线”是一个长方形。

三、总结全课

师：千金难买回头看。现在你能说说，什么是“面积”吗？

生1：面积就是图形里面东西的个数。

生2：面积就是指面的大小。

师：同学们说得非常好！有一天，我突然发现——面积、面积，就是说面是积出来的。（在课题位置板书：面是积出来的）大面是用小面积出来的，面的大小是数出来的。面的里面有什么呢？

生1：面的里面有线。

生2：面的里面有面。

师：面的里面有什么，是一个很有意思的问题。面的里面长着许多东西，丰富多彩。（课件出示：一个空白的长方形，一条一条的黄线依次累积，最后铺满；再空白，接着一块一块铺满垫子；再空白，然后用餐盘铺，有空缺；再有花朵，再空白。再飘进“下课啦”，最后飘走）有的东西已经长出来了，有的还没有；没有长的，那是留给我们想象的。

师：同学们，下课啦！

（学生久久不愿离去）

【课后明辨】

开始研究这节课的时候，为了直观展现“积线成面”，我请朋友帮我做动画“积水成渊”。水一滴一滴滴下来，连成一条线；然后，一条一条流下来，积线成面；最后，一面一面淌下来，积面成体。那动画不真实，不美丽。水滴没有那么听话的。哪知道暑假游凤凰城时，手工织布的场景让我眼前一亮：这不就是“积线成面”吗？我不就是要“积线成面”吗？

改进后的教学，自觉舒服多了。心中有一个追求，但也不能一意孤行。最好的“那一个”，有可能在不经意间发现。这也是一种“真空妙有”，总之，不要太执着就很美好。

上完这节课，有老师疑惑地问我：“华老师，您这样讲面积，有没有科学性问题？我们都知道线是没有粗细的。”

谢谢同行的提问，他让我思考清楚一个问题：小学阶段的教学是不是可以浪漫一些？太严谨，太科学，反而不利于学生的发展。

怀特海在《教育的目的》一书中把学习分为了三个阶段：浪漫期、精确期、综合期，分别对应的是小学、中学、大学阶段。如果我们在小学阶段就追求精确到永远正确，那是不是拔苗助长？请问读者朋友，您是什么时候知道“线没有粗细”的？我大概是初三的时候。再者，孩子的生活中有没有“没有粗细的线”？积线成面的线无疑是有粗细的，将来再知道数学上研究的线是没有粗细的，会有什么害处吗？这就像开始识数时，知道最小的数是1；后来，知道最小的数是0；再后来，知道还有比0小的负数；再再后来，知道没有最小的数。这就像开始学乘法，知道越乘越大；学了小数乘法，知道还可能越乘越小。这就像开始研究三角形，知道三角形的内角和是180度；等到了大学，知道三角形的内角和还可能大于180度或小于180度……

而面积这节课，最要紧的是怎么帮助学生从一维到二维。在学生已有的经验中，线是一维的。他不知道线没有粗细，但知道线有长度。上完这节课，他知道线有粗细，也就有了面积，有何不好？

哦，我能说服我自己就好！

化错教学不是为了化错而去教学，而是教学中不可避免地遭遇差错，教师和学生怎么去化解，怎么为我所用，进而促进学生的发展，这需要并值得我们去探索。本课中，特别是学生创作阶段的“化错”，我是满意的。怎样从差错中发现正确的方向，是我要争取早日说出一二三的。

（本课实录由陕西榆林闫彩燕老师整理）

（作者单位：北京第二实验小学）