华南师范大学数学科学学院(510631) 尹倩倩 冯 姗 黄 威

W.Janous不等式的变式

华南师范大学数学科学学院(510631) 尹倩倩 冯 姗 黄 威

我们主要利用排序不等式、柯西不等式及线性变换等方法证明了W.Janous不等式的36个变式中的27个变式,另外9个变式存在反例.

W.Janous不等式 排序不等式 线性变换

一、猜想的提出

W.Janous猜想:设x,y,z＞0,则

该猜想最先发表在加拿大《数学难题》杂志1612期上,最后成为数学难题刊登在《数学通讯》1992年第4期上,从此引入国内,引起诸多数学爱好者兴趣,现已有多种证明方法及推广形式.我们从排序不等式证法中受到启发,由文[1]猜想:对分子为x2,y2,z2与xy,yz,zx的全排列所对应的36个变式是否全部成立(其中x,y,z均为正数).下面依据x2,y2,z2的排列方式将36个变式分成六种情形讨论,即:

1.情形一:

二、引理

(一)引理1[2](排序不等式)设有两组实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn,满足

则有

其中i1,...,in是1,...,n的任意排列,等号当且仅当a1=a2=···=an或b1=b2=···=bn时成立.

(二)引理2[3](柯 西 不 等 式)设a1,a2,...,an及b1,b2,...,bn为任意实数,则不等式

成立,当且仅当ai=kbi(i=1,2,...,n)时等号成立.

三、猜想的证明

(一)由排序不等式知,若x≥y≥z,则

从而有(顺序和≥乱序和≥倒序和),即

因此,在情形一中,只需要证明变式(4):

成立即可.

证明 由于x,y,z均为正数,原不等式两边同时乘(x+y)(y+z)(z+x),原不等式等价于:

两边同除xyz,

事实上,由柯西不等式知

由 (∗)式可知:

所以情形一中的全部变式可得证.同理,在情形二中,只需要证明变式(10):

成立即可.

证明 由对偶性知

故由已证得的变式(4):

命题可得证.

所以情形二中的全部变式可得证.同样地,在情形三中,只需要证明变式(16):

成立即可.

证……