浙江省杭州市富阳区新登中学(311404) 汪道智

追本溯源明本质 引申探究点差法

浙江省杭州市富阳区新登中学(311404) 汪道智

点差法是解决圆锥曲线中点弦问题的一种基本方法,而学生对点差法的掌握往往只停留在问题表面的一种记忆性的结论,而没有理解问题的本质.本文对点差法进行了一些探究与引申,以帮助学生理解圆锥曲线中点弦问题的本质,提高解题能力.

圆锥曲线 中点弦 点差法

1.原题呈现

题目 (人教A版高中数学选修2-1第49页习题2.2 A组第8题)已知椭圆,一组平行直线的斜率是

(1)这组直线何时与椭圆相交?

(2)当它们与椭圆相交时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上.

解 (1)略.(2)点差法 设直线被椭圆截得的线段两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x,y).则

所以

笔者将在下文中对点差法进行一些引申与探究,以期能对通过此文帮助学生加深对圆锥曲线中点弦问题的本质的理解.

2.基本模型

首先以焦点在x轴上的椭圆为例:如图1不过原点O的直线l与椭圆(a＞b＞0)交椭圆于A、B两点,M为线段AB的中点,则(其中e为椭圆的离心率).

图1

简证 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0).则

变式 (1)焦点在y轴上的椭圆则

(2)焦点在x轴上的双曲线则kAB·kOM=

(3)焦点在y轴上的双曲线则

以上几个圆锥曲线中点弦性质均可以用点差法证明,这里不再赘述.下面继续探究与上述性质相关的一些问题.

3.性质探究

下面对焦点在x轴上的圆锥曲线进行探究与引申:

引申1 若A、B是椭圆上关于原点对称的两个点,M是椭圆上不同……