安徽省无为县牛埠中学(238351) 朱小扣

一类绝对值函数的性质及应用举隅

安徽省无为县牛埠中学(238351) 朱小扣

高考和竞赛中对绝对值的考察一直是重点,学生做这些题目时时常会觉得很难,无从下手,即使做出来耗时也会比较多.针对这一情况,本文将阐述绝对值函数的两条重要的性质,以期在绝对值问题上给大家有所帮助与启发.

绝对值函数的两个性质如下:

性质1 含单绝对值函数f(x)=a|x−b|的图像是“三点两线”,

双绝对值函数f(x)=a1|x−b1|+a2|x−b2|的图像是“四点三线”,

三绝对值函数f(x)=a1|x−b1|+a2|x−b2|+a3|x−b3|的图像是“五点四线”...

性质2 若f(x)=|x−b1|+|x−b2|+···+|x−bn|,则当x是b1,b2,...,bn的中位数时,f(x)最小.

性质1的直接运用

例1(2012年“北约”)求x的范围,使f(x)=|x+2|+|x|+|x−1|是增函数.

解 由性质1可知f(x)图像是“五点四线”,画出图可知x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数.(注:五点依次令x=−2,0,1得到三点,再在x＜−2和x＞1各取一点)

图1

性质1的运用升级

例2(2014年湖北高考理科)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,若∀x∈R,f(x−1)≥f(x),则实数a的取值范围为__________.

解 可以用四点三线快速地画出f(x)(x≥0)的图像(其中四点分别为O(0,0),A(a2,−a2),B(2a2,−a2),C(3a2,0)),由奇函数的性质得到x＜0的另一半图像,如图,因为对任意实数x都有,f(x−1)≤f(x),即f(x−1)的图像要在f(x)的下方,将C平移到C′′,C′′必须超过C才可以,3a2−(−3a2)≤1解得

图2

例3(14年福建高考文科12题)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P(x2,y2)间的“L-距离”定义为

则平面内与x轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是( )

解 不妨设F1(−a,0),F(a,0),其中a＞0,点P(x,y)是其轨迹上的点,且P与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值b(大于|F1F2|).

显然图像关于x轴对称,当y≥0时,

由性质1知图像是“四点三线”,易得答案为A.

点……