四川师范大学数学与软件科学学院(610068) 陈 柳

“截长补短”法应用中所蕴含的“旋转”思想

四川师范大学数学与软件科学学院(610068) 陈 柳

截长补短法是解决线段和差问题的主要方法,但在解题时如何去做辅助线仍然是学生的难点.这篇文章探究了旋转思想在和差问题中的应用,将截长补短法用旋转来刻画,总结并提出了蕴含旋转思想的截长补短法的解题模式.使读者能够更加深刻的理解截长补短法,并在运用时能够快速的找准方向.

旋转 截长补短 和差问题

几何是中学数学的一个重要组成部分.不管是几何证明题还是计算题,通常需要做辅助线来帮助解题,而辅助线的做法却是一个难点.在涉及线段的和差问题中,截长补短法是一个通用的方法.本文通过例题来探究了旋转思想在截长补短法做辅助线上的应用,以此帮助学生能够快速而准确找准突破点,深刻地理解截长补短法.

1 “旋转”辅助证明和差关系

例1 如图1,圆O是△ABC的外接圆,并且△ABC是等边三角形,点P是弧AB上的一个动点,求证:PA+PB=PC.

分析 该题要证明的是线段的和差关系,如果能够将两条较短的线段合并为一条线段,再证明该条线段与最长的那条线段相等,那么问题就迎刃而解了,如果该条线段就是最长的那条线段那就更简单了.

图1

思路一 如果将△ABC绕点A逆时针旋转60°,那么由已知条件、旋转以及圆的知识可以证明,旋转后的三角形为图2中的△ADC,且点P、D、C在同一条直线上,其中有AP=PD,PB=DC,这样就……