甘肃省康乐县康乐中学 齐斌德

例谈解析几何中的多动点最值问题的求解

甘肃省康乐县康乐中学 齐斌德

解析几何是高中数学中的重要知识点,是“数形结合”这一数学思想方法的集中体现,圆锥曲线中的一些最值问题是近几年高考中的热点,而其中的多动点问题,由于动点多,导致涉及面加大,如果不掌握一些方法,往往在纷繁复杂的情况下理不出头绪来.所谓“多动点”问题,就是题目中的动点不止一个,而是有多个,某一动点运动时会带动或制约其他一些点的运动,在这种错综复杂的情况下,会有一种“山重水复疑无路”的感觉,但是我们如果能够尽可能地使动点的数目减少,往往就会出现“柳暗花明又一村”的局面.现就这种情况下求最值问题谈一些方法.

一、动点转化为定点

例1已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是M,点则

|PA|+|PM|的最小值是()

分析 本问题的实质是求折线段APM的最小值,而在这个问题中有P、M两个点在同时运动,给解决问题带来了一定的困难,如果能够将其中的一个动点转化为定点,则会使问题变得简单.考虑到抛物线的焦点F为一个定点以及抛物线的定义,可以尝试着将动点M朝着定点F转化,这样就可以将原来问题中的两个动点转化为一个动点,从而使问题得以解决.

图1

(当且仅当A、P、F三点共线时取等号),因此|PA|+|PM|的最小值为因此选择B.

例2 若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆C∶(x−3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值为____.

分析 该问……