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错在哪里

1新疆生产建设兵团第二中学

张丽娟张国治(邮编:830002)

题目(2017年衡水中学模拟调研卷衡水金卷理科数学(五)第15题)

解析(该试卷提供的标准解答)

图1

设 ∠A、∠ABC,∠ACB所对的边分别为a、b、c．如图1所示,∠A＝90°,在Rt△BAD 中,BD ＝,在 Rt△CAE 中,,所以．依题意得BD·CE＝4,所以．又由正弦定理,可知,所以bc＝a2sinBsinC．因此,即,从而得到a＝2,故BC边的长为2．

题目错了，错在哪里?

上述题目及解答似乎无懈可击,但却犯了一个致命的错误即符合题意的Rt△ABC是否存在?出题者在编拟试题时有心理上的“潜在假设”,即认为符合题意的三角形是存在的,但实际上本题一开始的前提便是谬误,只得差若毫厘,谬以千里之果．

错误剖析1一个自然的思路是依据题设条件采用“减元”的策略,求出sinB或sinC后由正弦定理获解．

错误剖析2同剖析1,从另外一个角度来探究的取值范围,由式子结构联想到由积化和差公式得,而B、,故即,故,从而,当且仅当B－C＝0,即B＝C＝时,

若能够救偏补弊,此题便不失为一道提升能力训练思维的好题．

试题修正已知Rt△ABC中,A＝90°,且,若B、C的角平分线的长的乘积为4,则BC边的长为______．

试题推广已知Rt△ABC中,∠A＝90°,且,若B、C的角平分线的长的乘积为n,则

解析设∠A、∠ABC、∠ACB所对的边分别 为a、b、c．如 图 1 所 示,∠A ＝90°,在Rt△BAD中,在 Rt△CAE中,,所以．所以．又由正弦定理,可知,即bc＝a2sinBsinC．因此,即4ma2＝n,从而得到,故BC边的长为

由此题我们进行剖析可见,对于题目的编制应遵循条件相容性原则,即题设条件之间不能互相矛盾．此题的错误比较隐蔽,需要深刻地从不同角度剖析．事实上,通过正本清源发现本质的错误在于命题者忽视了……