安徽省安庆市岳西县汤池中学 杨续亮 苏岳祥 (邮编:246620)

一个三角不等式的类比与证明

安徽省安庆市岳西县汤池中学 杨续亮 苏岳祥 (邮编:246620)

《数学通讯》2016年10月上半月刊问题275题是:

设 △ABC的三边为a、b、c,证明:

《数学通报》2017年第3期,贺斌等老师在《一个三角形不等式的证明与类比》中提出不等式:在 △ABC中,设 ∠A、∠B、∠C所对的三边为a、b、c则有如下不等式成立:

为此,笔者先给出不等式①②的类比不等式,再给出证明．

在 △ABC中,设 ∠A、∠B、∠C所对的三边为a、b、c则有如下不等式成立:

证明①式的证明

而

证法一

同理可得(a＋b－c)(b＋c－a)≤b2,(a＋c－b)(b＋c－a)≤c2．

将以上三式相乘并开方可得(a＋b－c)(a＋c－b)(b＋c－a)≤abc,即

证法二由正弦定理有

而sin2A＋sin2B＝2sin(A＋B)cos(A－B)≤2sinC．

同理可得sin2A＋sin2C≤2sinB,sin2B＋sin2C≤2sinA．

将以上三式相加可得sin2A＋sin2B＋sin2C≤sinA＋sinB＋sinC．

以下同证法一．

证法三不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,

④式的证明

不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,a2≥b2

⑤式的证明:

不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,a2≥b2≥c2,0＜cosA≤cosB≤cosC．

根据切比雪夫不等式知a2cosA＋b2cosB＋c2)．

在△ABC和任意的实数x、y、z有如下嵌入不等式2xycosC＋2yzcosA＋2zxcosB≤x2＋y2＋z2成立,当且仅当x∶y∶z＝sinA∶sinB∶sinC时,等号成立．

在这里式子acosA＋bcosB＋ccosC有确切的几何意义,为△ABC的垂直三角形的周长．

由切比雪夫不等式容易证明,请读者自己完成．

⑧式的证明,由余弦定理和重要不等式可得

2017-07-11)