广东省阳江市实验学校 黄双华 (邮编:529900)

品味一道中考题 感悟数学真善美
——2017年广东省中考卷第25题评析

广东省阳江市实验学校 黄双华 (邮编:529900)

通过对2017年广东省中考卷第25题的解构与反思,发现其具备真善美的特征!不但强化了对数学理性思维的能力要求,还展现了数学的学科价值和人文价值．

基本套路,数学思想,真善美

1 试题呈现——平淡无奇道本质

(2017年广东省中考第25题)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点A、C的坐标分别是A(0,2)和C(23,0),点D是对角线AC上一动点(不与A、C重合),连结BD,作DE⊥DB,交x轴于点E,以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF．

图(1)

图(2)

(I)填空:点B的坐标为______;

(II)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由;

②设AD＝x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用①的结论),并求出y的最小值．

2017年广东省中考压轴题的设计,一如既往地以动态变化类为基架,呈现方式自然朴实,淡化了压轴题的复杂计算,考查层次分明,不同水平的学生可以充分展示自己不同的探究深度,着重考查了三角函数、勾股定理的应用、二次函数求最值和代数综合运算等初中数学的核心内容．较好地体现了中考数学压轴题的选拔功能．

2 试题特色——关注“本生”，设问递进立意高

虽然是压轴题,但注重人性化、起点低、入口宽,不同层次的学生都能得到相应的分数．第(I)问的问题情境熟悉,注重基础性的考查,关爱基础较差的学生,使他们也有展示的机会,体现人文性;第(II)问考查了分类讨论思想,运动类问题中,多数都以考查分类讨论思想方法为目的,而研究某个三角形变化的形状,可谓是这类问题的一种常规而经典的设计方式．第(II)问递进到第(III)问,称得上独具匠心,关注优等生的能力发展．这样的设问注意到了能力层次的要求和问题间的关联,较好地体现了中考数学压轴题的选拔功能．

3 试题分析——注重“基本套路”，突出数学思想

3．1 注重“基本套路”

解决几何问题的一个“基本套路”就是:首先要认真分析条件,而分析条件就是将条件与相关“基本图形”结合起来,利用这个“基本图形”的性质,获得相应的结论．有时图形中不一定有与条件匹配的“基本图形”,这时还需要联想相关知识作辅助线构造出相关的“基本图形”,再利用这个“基本图形”的性质,获得相应的结论,从而达到解决问题的目的．

(1)在第(I)问,研究△DEC为等腰三角形,除了确定哪两条边相等,还需要分别讨论被动点E会出现边OC上,或OC的延长线上的两种情况．当点E在边OC上(如图(1))时,易知DE＝CE,∠EDC＝∠ECD＝30°,△DBC为等边三角形,从而得到∠DAB＝∠DBA＝30°,所以AD＝DB＝BC＝2;当点E在OC的在OC的延长线上(如图(2))时,易知DC＝EC,∠CED＝∠CDE＝15°,∠ADB＝∠ABD＝75°,因此AD＝AB＝23．

这里考查了学生的基本技能和基本思想．此问的思路虽容易形成,但必需会灵活应用三角函数、三角形内角和、等边对等角、两角和与差的运算等知识,还考查了分类讨论的思想,这是对常规基础知识技能的深度理解．

图(3)

(2)第(III)问①的证法1:建直角,造K字．

如图(3),过D作GH⊥AB,易知GH⊥OC,由BDEF为矩形,建立“K”型相似的基本模型,由△BDG∽△DEH,得到．在(II)的条件下,易得所以,从而得到

(3)第(III)问①的证法2:从外心出发,显“圆”如此!

由于图形的复杂性,有时在图中并不需要画出圆,可谓“图中无圆,心中有圆”．图(1)和图(2)都有∠BDE＝∠BCE＝90°,根据直角三角形外心必在斜边的中点处,易证得B、D、E、C四点共圆,如图(4)．

图(4)

几何综合题的图形中往往隐去了基本图形的一部分,如果能联想到相应的基本图形,并能添加适当发现并添出辅助线(辅助圆),再现基本图形,解题思路就会柳暗花明．可以这样说,一种辅助线作法对应着一个基本图形,辅助线就是把残缺的基本图形补充完整,从而利用基本结论解题．

3．2 突出数学思想

本题并非是解题方法和技巧的机械运用,而是巧妙考查了学生的化归思想、建模思想、分类思想、方程与函数思想等,强化了对数学理性思维的能力要求,展现了数学的学科价值和人文价值．

(1)分类讨论思想．第(II)问思路容易形成,第一次分类讨论,需要确定△DEC中谁是顶点．第二次分类讨论,需要讨论主动点D在对角线AC上运动时,被动点E在x轴上,会出现在边OC上,或在OC的延长线上的两种情况．

(2)建模思想．第(III)问①的证明:无论是建立“K”型相似的基本模型,或是证明B、D、E、C四点共圆的解决办法．都是在提炼基本模型,以模解题,打破思维定势,化陌生为熟悉,化非常规为常规,有助于学生体验数学基本经验在解决实际问题中的价值和作用,强化应用意识．

(3)方程与函数思想:二次函数是初中代数的核心内容,历来都是中考必不可少的一项内容．解第(III)问②通过面积问题,灵活使用方程与函数知识,表现出本题的命题的基础性、实用性和教学的导向性．

近年中考中特别重视突出数学思想方法的考查．因此,在平时的教学中,要注意体会、归纳教材题目中的数学思想方法．尤其在中考复习时,教师更应有意识、有目的、适时地渗透数学思想方法,培养学生有效利用数学思想方法解决相关问题的能力．

4 写在最后

通过对本题的解构与反思,发现其具备真善美的特征!“真”即是符合学生认知规律和数学学科规律,不大题小做或小题大做,不出现技能化的假过程现象．“善”即是符合考查目的性,尊重学生的能力和创新,体现数学智慧,鼓励学生探索．“美”即是试题本身结构和谐,呈现自然,不矫揉造作,解题过程不单一和程式化,而是在解题过程中有经历发现美、认识美、追求美、创造美的机会!最终在品味数学的过程中,充分感悟数学的真善美．

1 高峰．注重基本“套路”,突出数学思想[J]．中学数学教学参考(中旬)2013(8):41

2 李景财,冉瑞洪．联想基本图形,解法自然生成[J]．中学数学教学参考(中旬),2017(4):33

2017-07-04)