周淑丹

高中数学人教A版必修4第100页探究题为：当 时，点P的坐标是什么？由此不难得出P点的横坐标 （ ）。我们进一步研究 和 的联系，上式变形为 ，这是一个反比例型函数，其图象为

（ ） （ ）

根据图象的特征，我们可得到

性质：平面内两定点 ，不妨设 ， （i=1，2，3……）满足 ，对于不同的i，j，有

（1） 若 ，则 ，且点 比 距B点近；

（2） 若 ，则 ，且点 比 距B点远；

（3）若 ，则 ，且点 在点B左（右），点 在点B右（左）；

证明：（1）

又 ，

（ ） ，由图象知，点 比 距B点近。（2），（3）同理可证。（略）

我们利用上述性质，常可应用于下列几何问题：

1.用于比较值的大小

例1.已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小。

分析：此题常规法利用函数单调性解。根据数字的结构特征，可化为 形式的式子，再利用性质能较方便的得出大小关系。

解：设 ， 满足 ，令 ， ， ，此时 ， ， ，且 根据性质（1）得 。

上题可推广到更一般化情形：

设 且 ，b，t，s ，试比较 与 的大小。

分析：将原式变形为 与 ，设 ， 满足 ，令 ， ，当 时， ，有 ， ，又 ，所以 ，由性质1知，前者比后者大。当 时，同理可得。（略）

例2.已知 且 ， ，判断 与 的大小。

分析：根据分式结构关系，分子三倍角正切可化单角的正切，再化简转化为需要的形式。

解： ， ，

设 ， 满足

令 ， ，

（i）当 时， ， ，

， ，由性质（1）知 ；

（ii） 当 时，有 ，由性质（1）知 ；

（iii）当 时，有 ，由性质（3）知

2.应用于解不等式

例3.解不等式：

解：令 ， ， 满足 ， ，则不等式转化为 ，即点 在点 与 之间（包括端点）变动，而 满足 时对应的 ，所以

即

（1）当 时， ，即原不等式的解集为 ；

（2）当 时， ，即原不等式的解集为 。

3.应用于证明不等式

例4. 若 ，则 。

证明： ，

设点 ， 满足 ，令 ， ，由 知 ，所以 ，即

由性质（3）知 ，且点 在点B左边，点 在点B右边，所以 即 。

例5.若 ，求证 不能介于 与 之间。

证明： ， ， ，

设点 ， 满足 ，令满足 ， ， ，因为 ， ，所以 ， ， ，