吉斌波

【摘要】圆锥曲线是高中数学的必考内容，此类题目学生普遍感到无从下手。文章就一个习题的多角度解法进行了探索，较为透彻地解决了该类型题目。

【关键词】圆锥曲线；判别式法；配方法；三角函数；数形结合

习题：已知、是双曲线和椭圆的公共焦点，是它们的公共交点且，则双曲线和椭圆的离心率的倒数之和的最大值为 .

解答：

不妨取点在第一象限，设椭圆的长轴长为，离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为e1，、分别为两者的左右焦点.设=s，=t，可得，① .由于，由余弦定理易知②，离心率的倒数之和.

方法一：判别式法.由①易得，故由②易得，将看作自变量，则关于的一元二次方程，有，即，解得，所以.等号成立时，即取到最大值.

补充说明：此时，发现两者互为倒数.此题中使用“主参”互換思想，根据题意合理确定主变量和参变量，以便求得最值.

方法二：配方法.因为，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，则，取到最大值.

补充说明：将求解对象转化为二次函数，使用二次函数配方法解决最值.

方法三：数形结合.将代入化简后，根据题目求解目标，两边同除以得到，可看作.即，设，则求的最大值即可由的图象可知，当两者相切且切点在第一象限时，取到最大值，所以有，在此令，则，因为，所以.

补充说明：采用数形结合的数学思想，利用图形的几何意义巧妙求解.

方法四：三角函数.根据方法三整理得到的，可令，，，则，其中，所以.

补充说明：充分利用进行代换以及三角函数自身特性求解最值. 数学解题中形式看似繁琐，坚持到底，结果简练精辟！……