曾桂治

摘 要：运算能力是学生核心的数学素养。培养学生的运算能力，关键是平衡算理与算法的关系、算法多样化与算法优化的关系、多种算法之间的关系等。教学中，教师要引導学生调动经验理解算法、借助模型探究算法、运用结构优化算法。在算法融通、运用中提升学生的运算能力。

关键词：运算教学；算理；算法；算法优化

《义务教育数学课程标准》（2011年版）明确将“运算能力”作为学生十大数学素养之一，说明学生的运算能力是数学教学的重中之重。运算不同于计算，计算更多地指技能的形成，而运算更加关注学生活动经验的积累、思想方法的渗透等。学生的运算能力分为三个层次：一是计算精准化，二是计算快捷化，三是计算灵活化。小学阶段，学生运算的具体内容及表现形式为口算、笔算、估算以及验算等，其中口算是基础，笔算是核心，估算是预测，验算是保证。

一、追寻价值：运算教学的本真内涵

运算能力不是一种单纯的、孤立的计算能力，而是一种融学生观察力、记忆力、思维力、想象力、推理力等于一炉的综合性能力。同时，学生运算能力的形成也不是一蹴而就的，而是要经历“尝试—理解—内化—提升”这一逐渐深化的过程。在这个过程中，教师要处理好三对关系：一是算理和算法的关系；二是算法多样化与算法优化的关系；三是平衡口算、笔算、估算以及用计算器计算之间的关系。

1. 算法：在算理理解中建构

算理是运算的基础、算法是运算的建构，算理是隐性的、算法是显性的，算理解决“为什么这样运算”的问题、算法解决“怎样算”的问题。在学生运算能力培养过程中，教师要“理法”并重、循“理”入“法”、以“理”驭“法”。有教师在教学中盲目地让学生进行“运算演练”，学生虽然也能根据运算法则进行计算，但由于不理解算理，使得运算总是不灵活。例如教学苏教版二年级的“两三位数的加法和减法”，学生虽然能够准确运算92-39，但当学生遇到400-139时，有学生就在十位上的计算发生了错误。这是因为92-39只是个位相减不够，学生只要向十位“借一当十”就行，而面对400-139的计算，学生根本不清楚为什么从百位上借1，十位上变成90，个位上变成了10。因此教学中，教师必须让学生理解这样的算理：400=300+90+10。只有这样，学生的运算才不再是机械模仿、依葫芦画瓢，而是拥有了一种理性。

2. 算法：在多样化中优化

当下的运算教学似乎走进了一个过度重视算法多样化的实践误区。算法多样化是学生原生态的多元算法，值得呵护。但这些算法有的停留在感性的层面，有的缺乏思维含量，有的则比较烦琐，有的算法比较奇特、不具有普遍性等。凡此种种，都要求教师要在算法多样化的基础上及时展开算法优化。只有进行算法优化，学生的运算能力才能获得切实提高。例如一位教师教学苏教版一年级的“十几减9”时，计算13-9，学生产生了多样化算法，有的用“数数法”；有的用“直观操作法”，从13个圆片里直接拿走9个；有的用“算减想加法”，因为9加4等于13，所以13减9等于4；有的用“破十法”，从10里先减去9，得1，再用1加3等于4；有的用“平十法”……对于不同算法，教师要引导学生比较、思考。结果有学生发现“破十法”有效，不仅可以算“十几减9”，也可以算“十几减8、7”；有学生发现“平十法”巧妙；有学生发现“算减想加法”快捷等。算法优化，让学生的运算方法走向灵活，运算思维得到发展，运算经验、技能获得提升。

二、建构策略：运算教学的价值实现

学生运算能力的形成过程既是一种认识过程，也是一种实践过程。在这个过程中，学生掌握运算知识，形成运算技能，积累活动经验，感悟数学思想。将“四基”巧妙地融入运算教学之中，能够找到运算教学策略的绿色通道。教师可以围绕学生的运算基础、运算需求、建构规律等展开教学。

1. 调动学生经验，促进学生的算法理解

运算与学生的生活息息相关，学生在日常生活中已经积累了大量的数学运算经验，比如购物、数物体、顿筷子、分物品等。这些经验都沉睡在儿童的脑海之中，等待教师唤醒。生活经验不仅有利于学生感受、体验数学运算的意义和价值，更有利于学生深入地分析、理解运算算理。教学中，教师要充分激活、调动学生的已有认知经验，引导学生建构算法。

例如教学“小数的加法和减法”（苏教版小学数学教材第9册），有这样一道题目：小明买的讲义夹是4.75元，小丽买的笔记本是3.4元，小明和小丽一共要花多少元？学生在尝试计算时出现了两种算法，一种算法是“末位对齐”，另一种算法是“小数点对齐”。对于这两种算法，笔者让学生交流、讨论。

生1（类比）：我认为，整数加减法是末位对齐，小数加减法也应该是末位对齐。

生2：我认为，末位对齐对于这一道题来说不适用。因为3.4元是3元4角，而4.75元是4元7角5分，末位对齐，就是将角和分相加、元和角相加了。

生3：对，我认为小数加减法也要数位对齐，元加元、角加角、分加分。

生4：我认为，整数加减法的实质是数位对齐，所以在整数竖式写法上表现为末位对齐。我想小数加减法应该也是数位对齐。

师：我们来尝试写一写，看看小数加减法的数位对齐，它的形式表现为什么？

学生尝试解决问题。

生5：老师，我发现数位对齐，在小数加减法里表现为“小数点对齐”。

学生用其他算式展开验证。

当学生在运算过程中遇到问题、障碍或困难时，学生首先联想到的是自己的生活经验、知识经验。通过经验，学生获得对算理的理解。在这个过程中，学生实践尝试、经历辨析，逐步让算法建构走向理性、生动、深刻。

2. 借助直观模型，助推学生算法探究

直观的模型指的是具有一定结构的齐性操作材料，如小棒、圆片、图形、计数器等。直观模型是促进学生建构算法的重要载体。借助直观模型的操作活动，学生能够自主探索运算方法。直观模型让抽象化、形式化的算法变得具体、形象、直观。

例如教学“两位数乘两位数”（苏教版小学数学教材第6册），针对24×12，笔者采用数形结合，让学生结合“点子图”的方法，搭建从口算到笔算的桥梁。学生通过在“点子图”上圈一圈、画一画，确证和表征思维过程。根据“点子图”，学生分两步展开运算：先算24乘10，再算24乘2，然后将24乘10和24乘2合并起来。通过“点子图”，学生对24×12实行结构化分析。接着，教师引导学生结合“点子图”，将24乘12写成竖式乘法形式，由于学生经历了数形结合的算理推导过程，因此学生基本上都能够用自己的方式创构竖式。这样的算理教学，不再枯燥乏味，而是充满童真、童趣的。學生理解了24×12竖式运算中的每一步所表示的意义，因此运算教学不再是过去那种程式化、格式化的教学，而是实现了算法和算理的深度融合。如此，不仅让学生在理解算理意义时理解了算法，而且感受并体验到数形结合的思想。

算法是抽象的，算理是看不见的。借助直观模型，能够支撑、助推学生对算理的理解，能够让“看不见的算理”可视化，符合学生数学学习的心理需求。

3. 优化算法结构，引领学生的提升

在小学阶段，运算教学分散在不同年级教材的不同单元之中。运算算法之间存在着千丝万缕的联系，如整数加减法、小数加减法、分数加减法等彰显的是“计数单位相同才能直接相加或者相减”的数学思想。教学中，只有当学生洞悉了运算的“结构之眼”，把握了运算的“结构之形”，领悟了运算的“结构之魂”后，才能在运算中得心应手、游刃有余。因此，教师要有意识地优化算法结构，引领学生运算能力的不断发展、提升。

例如教学“小数乘小数”（苏教版小学数学教材第9册），在学生初步掌握了小数的算法后，笔者用两道习题引导学生进行对比：1.15×3.2和115×32，让学生比较算法，学生认为小数乘法就是先按照整数乘法（115×32）算出积，再给积添上小数点。有学生认为，今后计算小数乘法，就可以寻找一个“隐形的替身”等。笔者抓住学生这一“童稚化”的表述，引导学生深度思考：115×32这样一个“替身”，原型可能是什么？学生的运算思维被重新激活，他们纷纷发言，有的说可能是11.5×32，有的说可能是11.5×3.2，还有的说可能是11.5×0.32等。在此基础上，笔者再次展开深度追问：这些算式的积有什么相同点和不同点？通过比较，学生认为，这些积也都有一个“替身”，就是3680。但它们又各不相同，有的有3680个0.1，有的有3680个0.01，有的有3680个0.001……如此，学生在对比中沟通联系，以儿童的方式充分发掘整数乘法和小数乘法算法中的共同点，学生建构算法关联，形成核心观念。

一直以来，整数、小数、分数的运算法则给学生的印象是“不同的”“孤立的”“不能混淆的”，然而这些貌似不同的运算法则其实都有着相通之处，背后的算理是一致的。

运算能力是数学能力的核心要素，是数学学科独有的能力。教师要有意识地把数学思想方法的启迪、数学活动经验的积淀融入算法教学之中，让运算教学焕发出应有的魅力。运算能力的培养不是孤立的，而应当与解决问题的过程结合起来，凸显其工具性功能。通过运算培养学生数感，建立学生科学的运算观念，提升学生的运算素养，让学生的运算不断走向正确、快速与灵活，这是运算教学的核心价值之所在。