陈诗菲,徐海娜,刘小松

(岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江524048)

多复变数不同维数单位球上推广的Schwarz引理

陈诗菲,徐海娜,刘小松*

(岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江524048)

在复变函数中Schwarz引理的基础上,建立了多复变数不同维数单位球上三种推广的Schwarz引理,所得结果推广了一些相关的结论.

单位球;不同维数;推广的Schwarz引理

1 引 言

在复变函数中有一个著名的Schwarz引理,其应用非常广泛,迄今为止,Schwarz引理在相同维数上有多种推广的形式,相关文献见文[1-7].自然会问:多复变数不同维数单位球上推广的Schwarz引理是否存在?本文就此问题进行了探讨,获得了肯定的答案.

本文中,Bn表示为n维复欧式空间Cn的单位球,即

Df(z)和Dpf(z)(am-1,.).

2 一些引理

为建立本文主要定理的需要,给出以下引理.

引理1[1]若

引理2[2]设a≤1,|z|＜1,则

引理4[8]||≤‖z‖·‖w‖.

证 因

令

解得

易判断h(t)在(-∞,t1)是增函数,

故

3 主要定理

则

定理1 设m,n∈N+,若

且上式估计是精确的.

证 ∀固定z∈Bn{0},记

令

则h∈H(Bn,Bm),且

定义

则有

由引理1知

又由(1)有

于是由引理2、引理3和(2)得

和

另外,由引理4得

故由引理3,有

取η=f(ζz0),若f(ζz0)=0,结论显然成立.

若f(ζz0)≠0,则

特别地,取ζ=‖z‖n,有

若f(0)=0,结论显然成立.

若f(0)≠0,取η=f(0),则

于是

特别地,取ζ=‖z‖n,有

综上

又由f(0)=a得

故

因此定理1的估计式左边等号成立.

上述估计式是精确的.

则

由引理1知s(ζ)∈H(U,U).

令

则

由引理1得

又由(3)得

由引理2、引理3和(4),有

和

于是

对于

由引理4得

于是

若f(ζz0)=0,故能证结论显然成立.

若f(ζz0)≠0,取η=f(ζz0),则

特别地,取ζ=‖z‖n,有

对于

注意到

于是由引理4,有

特别地,取ζ=‖z‖n,有

综上,

因此上述定理2的估计式的左边等号成立.

取z=(reπi+iarga1,0,…,0)'∈Bn时,则则同理可验证上述定……