周 静,刘小松

(岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江524048)

复Banach空间单位球上一类星形映照子族齐次展开式的精确估计

周 静,刘小松*

(岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江524048)

本文建立了复Banach空间的单位球上一类星形映照子族第三项、第四项及第五项齐次展开式的精确估计,所得结果能回到单复变数的经典结论,从而丰富了多复变数Bieberbach猜想的研究.

复Banach空间单位球;齐次展开式;精确估计

1 引 言

在单复变数情形有熟知的deBranges定理(见文献[1,2]),但在多复变数中,该定理不再成立.鉴于双全纯星形映照的性质与双全纯映照最类似,1999年龚升提出以下多复变数的Bieberbach猜想,即在中单位多圆柱上关于正规化双全纯星形映照的全部项的齐次展开式的精确估计成立.

目前,第二项齐次展开式的精确估计已完全解决(见文献[3-5]),第三项的精确估计已有结果(见文献[5,6]),而第四、第五项齐次展开式也有了初步结果(见文献[7,8]).而这些精确估计的结果都是建立在Cn单位多圆柱上的的证明,那么这样的结果在复Banach空间单位球上是否同样成立呢?本文给出部分肯定的回答.

本文中,设是具有范数的复Banach空间,X*是的对偶空间,B是中的开单位球,U表示复Banach空间的开单位圆盘,将B映射到X内的全纯映射的全体记为H(B),而将B映射到U内的全纯映射的全体记为H(B,U).

若对每个t∈[0,1],当z∈Ω⊂Cn,有tz∈Ω,则称Ω是星形域.若f∈H(Un),正规化是指映照f满足f(0)=0,Df(0)=I.若映照及其逆映照f-1均是全纯映照,则称f是双全纯映照.如果f(Un)关于原点是星形域,则……