周秀香,王姝娜

(1.岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江524048;2.长春理工大学理学院,吉林长春130022)

积分微分方程的边界能控性

周秀香1,王姝娜2

(1.岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江524048;2.长春理工大学理学院,吉林长春130022)

考虑一类积分方程的边界能控性问题,利用对偶原理,将近似能控性转化为对偶系统的唯一延拓性,进而利用对偶系统解的表达式得到唯一延拓性成立.从而说明当边界施加控制时,积分微分方程是近似能控的.

能控性;积分微分方程;边界控制;唯一延拓性

1 引 言

给定T＞0.本文考虑下面积分微分方程:

其中,y0∈L2(0,1)是初值,g∈L2(0,T)是边界控制.该方程的建立可以参见文献[1].由转置方法(见[2])可得,系统(1)存在唯一的解y∈L2(0,T;L2(0,1)).

本文主要讨论的问题是系统(1)的近似能控性,不失一般性,假设y0=0.

定义1 如果对于任意目标y1∈L2(0,1)和ε＞0,存在控制g∈L2(0,T)使系统(1)相应的解y满足

则称系统(1)是近似能控的.

近几年,积分微分方程的能控性问题得到了广泛的关注和研究(见[3-5]).在文献[6]中,作者讨论了下述积分微分方程的内部能控性:

文中得到系统(2)是近似能控的.受到[6]的启发,我们将证明系统(1)在任意T时刻是近似能控的.首先,我们将近似能控性问题转化为对偶系统的唯一延拓性;然后,利用对偶方程解的表达式得到唯一延拓性是成立的,从而得到结果.

2 引 理

考虑系统(1)的如下对偶系统:

其中,φT∈L2(0,1).

设ϕj(x)=sin(jπx),λj=(jπ)2,∀j≥1,则{ϕj}j≥1构成L2(0,1)中的一组基.由于φT∈L2(0,1),因此存在{βj}j≥1∈l2使得

引理2 系统(3)的解可以表示为

证明 由于系统(3)的解φ∈L2(0,T;L2(0,1)),因此可以表示为……