吴 克 俭

(岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江524048)

多项式tk+1在实数域ℝ中的标准分解

吴 克 俭

(岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江524048)

文章研究多项式tk+1在实数域R中使得(tk+1)-1的积分便于计算的不可约因式分解.

多项式;不可约因式;重复排列

1 引言与定理

设其中±表示只取+与-中的一个,σn表示在2元集合{+,-}中任取n个元素的一个重复排列.当a=0时,数列

常常会在极限论中遇到.特别地,Bσ0(a)=Bσ1=0.

本文的主要结果叙述如下:

定理 设正整数k=2nl,其中l是奇数,n∈N,则tk+1在ℝ中可分解成不可约因式之积.当k是奇数时,则

当k是偶数时,则

其中σn取遍所有不同的在2元集{+,-}中任取n个元素的重复排列.

在下一节证明这个结论.

2 定理证明

为证明定理,首先引入下列引理.

引理 设a∈ℝ满足-1＜a≤1.当n≥2时,则多项式t2n+2at2n-1+1在ℝ中可分解成2次不可约因式之积

其中σn-1取遍所有不同的在2元集{+,-}中任取n-1个元素的重复排列.

证明 对n用数学归纳法.当n=2时,且-1＜a≤1,由(1)得

假设n-1≥2时,结论成立.对n≥3,由(1)得Bσn-1(a)可表成两种情况则由(2)和归纳假设得

又由(1)得

由一元二次方程根的判别式得t2+tBσn-1(a)+1在ℝ中不可约.综上所述,引理获证.

下面来证明定理.

定理证明 对k=2nl中的n与l分3种情况来讨论.

情况1 当k是奇数时,即n=0.当k=1时,显然结论成立.当k≥3时,令复数单位根ε

则结论成立.

情况2 当l=1时,则k=2n.当n=1时,则

从而结论成立.当n≥2时,直接由引理得

则结论成立.

情况3 当n＞0,l＞1时,从而l是大于等于3的奇数.于是,tk+1=t2nl+1=(t2n)l+1.由情形1得

将(3)和(5)代入(4)得

其中σn取遍所有不同的在{+,-}中任取n个元素的重复排列.定理证毕.

[1]北京大学数学系前代数小……