崔丽霞,陈鸿辉,李晓培,袁文俊

(1.广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006;2.岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江524048)

涉及零点的非零亚纯函数的正规性

崔丽霞1,陈鸿辉1,李晓培2,袁文俊1

(1.广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006;2.岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江524048)

文章主要讨论了涉及零点个数的非零亚纯函数的正规性.主要结果为:设F是区域D内的一族亚纯函数,k,q(≥1)是两个正整数.若对任意的至多有q(k+1)-1个不同的零点(不计重数),则F在D内正规.这个结果推广了常建明的结论.

亚纯函数;正规族;一致收敛;零点;多项式

1 引言与结果

本文引用Nevanlinna值分布理论中常用记号及基本结果[1].

设F是区域D内的一族亚纯函数,如果对于F的任一族子列fn,存在子序列fnj在D内按球面距离内闭一致收敛于一个亚纯函数,或者∞,则F在D内正规[2-4].

1959年,Hayman[5]证明了下面定理.

定理1.1 设f为C上的非常数亚纯函数,k∈N+.则f或者f(k)-1至少有一个零点.若f为超越亚纯函数,则f或者f(k)-1有无穷多个零点.

1967年,Hayman[6]提出如下著名猜想,并于1979年被顾永兴[7]证明.

定理1.2 设F是区域D内的一族亚纯函数,k∈N+.若对∀f∈F,f(z)≠0,f(k)(z)≠1,则F在D内正规.

2011年,常建明[8]把定理1.2中的f(k)≠1放宽为f(k)=1,并做一定的限制,得到:

定理1.3 设F为区域D内的一族亚纯函数,k是一个正整数,如果对于F中的任意函数f,有f(z)≠0,f(k)(z)-1至多有k个不同的零点(不计重数),那么F在D内正规.

本文,我们进一步推广,并证明下面的定理.

定理1.4 设F为区域D内的一族亚纯函数,k,q(≥1)∈N+,如果对于F中的任意函数f,有f(z)≠0,且(f(k)(z))q-1至多有q(k+1)-1个不同的零点(不计重数),那……