卫剑征，丁海鑫，侯 雪，谭惠丰

式中，ω0为结构的固有频率，m为结构轴向线密度，y为结构自由端的振幅。弹性势能形式储存在结构中，因此势能的变化值可以通过弯矩做功的大小来表示。而弯矩做功可以表示为式（7）：

由于结构自由端弯曲挠度数值很小，所以有式（8）：

可展开双Ω薄壳结构动态特性测试与分析

卫剑征，丁海鑫，侯 雪，谭惠丰

（哈尔滨工业大学复合材料与结构研究所，哈尔滨150080）

针对一种碳纤维复合材料双Ω薄壳结构中折叠展开变形以及局部损伤对动态特性的影响问题，基于Rayleigh方程，引入了纤维复合材料结构中铺层相关因子，讨论卷曲展开程度及薄壁结构局部损伤对结构动态特性的影响程度；建立了双Ω薄壳结构的动态测试系统，采用了单点激励多点响应的动态测试方法，得到了双Ω薄壳结构分别在展开、卷曲收拢和局部屈曲破坏后的一阶、二阶固有频率。测试结果验证了数值仿真结果的正确性，并表明卷曲后双Ω薄壳结构基频增大，局部屈曲破坏后的双Ω薄壳结构基频减小。

双Ω截面；薄壳结构；动态；卷曲；碳纤维复合材料

1 引言

本文引入纤维复合材料结构中铺层相关因子，讨论卷曲展开程度及薄壁结构局部损伤对动态特性的影响程度，并建立了双Ω薄壳管的动态测试系统，采用了单点激励多点响应的动态测试方法，研究了双Ω薄壳结构分别在展开、卷曲收拢和局部屈曲损伤后的动态特性。

2 结构动态测试方法

为了测试双Ω薄壳管不同展开状态下的动态特性，本文设计了结构动态特性测试方案：把双Ω薄壳结构水平放置，一端与支架固支安装，使薄壳结构为悬臂梁状态；沿长度方向每间隔200 mm布置一个三轴加速度传感器（PCB公司），共为5个；激励方式为定点激励，激励位置为自由端，激励方向为y和z方向，测试方案如图1所示。其中测试对象为外径60 mm、长度100 cm的双Ω薄壳结构，由四层（45°／－45°／－45°／45°）碳纤维复合材料制备而成，其弹性模量为22Ʊ 4 GPa，剪切模量为8Ʊ 62 GPa，泊松比为0Ʊ 33，管壁线密度为62 g／m。振动测试数据采集系统为DEWE⁃801。在管壁上均匀粘贴三轴传感器，在自由端处利用端头盖保持截面的固定，防止开口出现局部振动，利用带有软式锤头的力锤对结构自由端进行激励，以减小结构出现局部变形，从而得到双Ω薄壳结构的整体动态特性。

依据动态特性测试方案，建立了动态特性测试实物系统（图2），包括DEWE⁃801振动测试仪、薄壳结构支架、传感器等。测试过程中需要先设定传感器灵敏系数，选择测量的通道，再用软头力锤对自由端进行激励。采用模态测试方法选择各阶固有频率和其相应的阻尼，最后依据有限元计算得到振型，并选择确定试验中对应的各阶基频。

本文动态试验中采用了单点激励多点响应的模态测试方法，由于试验测量的双Ω薄壳结构为一种低频结构，选择采样频率为1 kHz／s，分辨率设定为1024，半带宽度为500 Hz，得到试验频率精度为0Ʊ 2918 Hz。利用力锤对双Ω薄壳结构进行激励，为降低人为激励误差导致出现非固有频率峰值，采用三次激励取平均值方法，对结构端部进行激励，根据每个响应点的振动曲线，通过傅立叶变换拟合出双Ω薄壳结构的振型，并计算得到结构固有频率。本文采用三轴传感器设置z方向沿着管长度方向，xy方向为双Ω薄壳结构横截面内方向；固支端由四枚Φ4 mm螺丝加垫片紧密固定在金属支架带孔平板上；三轴传感器分别对应DEWE⁃801测试系统1、2、3、4和5测试通道，力锤与0通道连接，力锤锤头选择橡胶材料。

模态参数辨识方法采用频域法，动态信号测试仪得到频响函数后，也得到导纳圆的测试数据。其中导纳圆法是利用动态特性测试中得到的频响函数，拟合成不同的固有频率的模态圆。导纳圆辨识方法是利用频响函数的数据进行辨识［13］。对于简化所得单自由度结构阻尼系统，其频响函数如式（1）：

式中，（1＋jg）k为复刚度；g为结构阻尼因子。将上式按实部与虚部分开写得式（2）～（4）：

(4)从典型断面流速变化来看，方案三(闸孔净宽120 m)和方案四(闸孔净宽240 m)实施后，相对于建闸前，流速增大的区域包括进口单一段、新河段和汇流点以下单一段，流速减小的区域为老河道弯曲段。且方案四对水流的影响小于方案三。

由上两式消去变量（1－w－2）后，得到圆方程如式（5）：

其圆心坐标为（0，－1／2kg），半径为1／2kg，此圆为导纳圆或Nyquist圆。该圆是以HR（ω）为实部、HI（ω）为虚部在复平面上形成的图形。

3 测试结果与分析

3Ʊ 1 展开状态测试分析

用导纳圆辨识法确定结构的固有频率，理论上试验结果应精确地存在于导纳圆上，但由于测试中存在误差，数值结果不能精确地存在于导纳圆上。本文通过曲线拟合的方法将测试结果数值拟合成一个圆，并得到其各阶固有频率。在测试中通过模态测试方法识别双Ω薄壳结构的各阶频率，主要包括频率特性曲线、频率随振幅的响应曲线和频率随相位角的响应曲线。首先用双重离散傅里叶变换（FFT）曲线（图3）上相应波峰作为固有频率可能取值的点；同时频率随响应变化的幅频图中（图4），曲线波峰处作为薄壳结构固有频率可能取到的点，并结合导纳圆辨识法（图5），判断出双Ω薄壳结构的固有频率值。

测试得到悬臂状的双Ω薄壳结构的yz面一阶基频为8Ʊ 5 Hz，xz面一阶基频为10Ʊ 2 Hz。由于结构在x和y方向不对称，其惯性矩Ixx为1Ʊ 6939×104mm4，Iyy为5Ʊ 5205×104mm4，所以得到的前两阶固有频率不相等。根据Rayleigh方程，基于机械能守恒定律，结构的固有频率可由结构振动的动能最大值和弹性势能最大值相等得出。其动能表示为式（6）：

式中，ω0为结构的固有频率，m为结构轴向线密度，y为结构自由端的振幅。弹性势能形式储存在结构中，因此势能的变化值可以通过弯矩做功的大小来表示。而弯矩做功可以表示为式（7）：

由于结构自由端弯曲挠度数值很小，所以有式（8）：

其中，θ为结构偏离初始位置角度，R为结构的曲率半径。又由材料力学中对梁弯曲曲率的描述有式（9）：

将式（8）、（9）代入式（7）中可以得到式（10）：

由能量守恒定律可知，当形变等于零时能够得到动能最大值；当形变达到最大值时，得到势能最大值，即动能最大值和弹性势能最大值相等，所以有式（11）：

悬臂结构上与固定端距离等于x处的挠度可以表示成式（12）：

根据Rayleigh方程有Dmax＝Umax，则得到结构的固有频率ω0如式（15）：

由于双Ω薄壳结构采用了复合材料层合结构，与简化的悬臂结构计算得到的公式存在一定偏差，因此引入了与复合材料结构铺层相关因子如式（16）：

当ζ＝5时，计算得到双Ω薄壳结构在yz面和xz面的基频为9Ʊ 36 Hz、18Ʊ 74 Hz。

3Ʊ 2 收拢状态测试分析

进一步测试了双Ω薄壳结构在卷曲下的固有频率，设计了一个直径为150 mm的卷轴，其质量与端盖近似相同，质量为58 g。自由端绕卷轴将双Ω薄壳结构卷起，并将其固定，如图6所示。采用同样的测试方法，通过导纳圆、幅频图和FFT曲线得到一阶基频（图7）。测得yz面一阶基频为9Ʊ 3 Hz，xy面一阶基频为17Ʊ 8 Hz（表1）。

表1 薄壳结构卷曲前后测试结果对比Table 1 Comparison of test results of thin⁃shell struc⁃ture before and after curving

根据基频计算公式（15），基频与试件的长度和质量有关，当质量或长度增大时，基频减小。当双Ω薄壳结构卷曲后，其长度减小，增加的卷轴质量与卸掉的端头盖相当，但卷曲部分的双Ω薄壳结构质量也施加在了试件的自由端，限制了卷曲后的基频变大。因此结构的基频在卷曲后仍然具有增大的趋势，且二阶基频具有更明显的变化。

3Ʊ 3 局部损伤测试分析

针对双Ω薄壳结构轴压后发生的局部损伤程度进行了动态测试分析，局部破坏的双Ω薄壳结构如图8所示。裂纹位置在距固支端80 mm的上半圆弧处，裂纹长度约为30 mm，四层铺层均断裂。

采用同样无损伤的100 cm薄壳结构测试方法和条件，得到相频图（图9）和结构前六阶频率（表2）。从表2中看出经过轴压试验后产生局部破坏的双Ω薄壳结构固有频率有所降低，这是由于端部结构开裂导致结构的刚度退化，根据式（11）对基频的计算，刚度的退化会导致结构基频下降。

表2 局部裂纹的双Ω薄壳结构固有频率Table 2 The inherent frequency of locally cracking double Ω thin⁃shell boom

4 结构动态特性有限元分析

4Ʊ 1 有限元计算

本文建立了双Ω薄壳结构模型［14］并进行了动态特性有限元计算，在有限元计算中采用四节点减缩积分的薄壳单元，建立相同的一端固支、一端自由边界，并在自由端部建立端头盖刚体，与双Ω薄壳结构通过Tie方式连接，两端截面设置耦合约束以防止开口局部振动，得到结构的振动频率，计算得到yz面一阶频率为11Ʊ 42 Hz，xz面一阶频率为20Ʊ 85 Hz（图10）。表3为双Ω结构试验得到的前两阶固有频率与有限元计算基频结果对比，结果表明：与展开状态基频对比，卷曲基频比初始基频增大，轴压后局部裂纹破坏的双Ω薄壳结构基频降低44Ʊ 8%。

4Ʊ 2 误差分析

尽管双Ω薄壳结构的Iyy约为Ixx的4倍，由公式（11）中ω0和惯性矩的关系，xz面内基频应是yz面基频的2倍关系，证明结果的正确性，但是理论与测试和有限元仿真之间还是存在误差。引起误差的原因主要有三方面：首先，薄壳结构截面惯性矩的理论计算，引入了结构辅层相关因子，通过经验确定的ζ，该参数需要多次、多种细长比结构的测试进行修正；其次，测试过程中存在试件尺寸、材料阻尼、激励方向等耦合，以及系统误差等因素；最后有限元模态计算为线性计算方法，没有考虑实际测试对象碳纤维复合材料中树脂的阻尼。

表3 有限元计算固有频率结果与试验及理论值对比Table 3 Comparison of inherent frequencies calculated by finite element analysis，by experiment and by theory

5 结论

1）通过对悬臂结构的基频进行推导分析，得到了基频与惯性矩，长度和质量之间的关系，验证了不对称截面双Ω薄壳结构在展开和卷曲状态下基频的准确性。

2）双Ω薄壳结构轴压局部裂纹破坏后基频降低，比无损伤的基频降低了44Ʊ 8%；且结构在卷曲状态下的基频与初始态基频进行了对比，卷曲收拢状态的基频比展开状态的基频大。

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（责任编辑：庞迎春）

Dynamic Testing and Analysis of Deployable Double⁃Ω Thin⁃Shell Structures

WEI Jianzheng，DING Haixin，HOU Xue，TAN Huifeng
（Center for Composite Materials and Structures，Harbin Institute of Technology，Harbin 150080，China）

As far as the influences of the local damage and folded deformation on the dynamic char⁃acteristics are concerned，a double⁃Ω thin⁃shell structure was studied．A related layer factor was in⁃troduced in the fiber composite material structure based on Rayleigh equation．Its dynamic system was also built，and the method of excitating at a single⁃point and responding at multi points was used to test the first and the second order fundamental frequency of the double⁃Ω boom under folding，un⁃folding or local cracking conditions respectively．The test results are consistent with the numerical simulation．The results show that the double⁃Ω thin⁃shell boom had a higher frequency under folding and a lower frequency under cracking condition．

double⁃Ω boom；thin shell structure；dynamics；folded；carbon fibrous composite ma⁃terial

V414

A

1674⁃5825（2017）04⁃0551⁃05

2017⁃03⁃09；

2017⁃05⁃31

中央高校基本科研专项资金资助（HIT．MKSTISP．201609）

卫剑征，男，博士，副教授，研究方向为空间柔性可展开结构动力学。E⁃mail：weijz＠hit．edu．cn