贺 群，保 宏∗，杜敬利，彭福军

基于热载荷和索张力的平面薄膜边界形状优化

贺 群1，保 宏1∗，杜敬利1，彭福军2

（1Ʊ西安电子科技大学电子装备结构设计教育部重点实验室，西安710071；2．上海宇航系统工程研究所，上海201108）

针对平面薄膜相控阵天线受器件热以及边界索张力不确定的影响，提出一种平面薄膜相控阵天线边界形状优化方法。首先，考虑到天线单元的热效应，建立了平面薄膜天线热⁃结构有限元分析模型。其次，在确定范围内的任意索张力组合下，将薄膜边界形状视为3次B样条曲线，以曲线控制点位移为设计变量建立平面薄膜天线优化模型，通过优化实际结构索膜应力与参考应力偏差，实现对薄膜边界形状的优化。最后，通过数值模拟验证了该方法的有效性。与目前薄膜天线边界形状相比，该方法可实现任意曲线形状优化。

平面薄膜天线；器件热；索张力组合；边界形状优化

1 引言

由于平面薄膜相控阵天线具有质量轻、收纳比大、波束扫描灵活等特点，其概念一经提出即成为研究的热点［1⁃2］，而薄膜边界形状直接影响结构的固有频率、应力分布等，成为其结构设计主要内容。合适的边界形状对减少褶皱，提高膜面精度意义重大。目前对平面薄膜天线边界形状的研究主要集中在抛物线、圆弧形和椭圆形状。

2001年，Fang［3］研究了平面薄膜天线的边界形状和张拉系统，给出了抛物线薄膜天线的设计方程，得出管道张拉系统能够使悬索张力分布更加均匀、减少褶皱产生的结论。2003年，Gyula［4］在理论上证明了当薄膜边界承受单轴等值拉力时形成的边界形状为抛物线，得到了抛物线悬索切应变拉压变换的转折点，为避免褶皱产生，提出将承受压缩应变的悬索曲线翻转为拱形，从而获得受压的能力。由于翻转后的曲线与原曲线的过渡位置应力集中较严重，且这两种曲线的平滑过渡问题难以解决，该方法没有应用在工程实际。2005年，Johanne C Heald［5］针对一种多层抛物线平面薄膜天线，优化了其曲线跨度和垂度。

2004年，Sakamoto［6］从理论上证明，圆弧状边界薄膜上各点处于双轴等值拉伸应力状态，膜内应力为最佳张紧状态，并建立圆弧花瓣状薄膜模型，并以天线有效面积和总质量为目标函数，优化了薄膜边界圆弧段跨数和圆心角。2010年，汪有伟等［7］研究了索张力与边界弧长数目奇偶性质的关系，当膜面边界跨数为奇数时，支撑结构上的轴力相对较小，结构更加合理。2014年，刘充等人［8］用多区域法研究了圆弧边界薄膜结构的固有频率，分析了圆弧花瓣状薄膜固有频率与边界几何参数的变化关系。

2008年，加拿大航天局Wang等［9］在研究对角张力对方形膜褶皱的影响时发现薄膜边界附近位移较大的区域呈半椭圆形状，且该区域内应力很小。Wang等［10］还研究了两点张拉情况下膜面各点的应力分布，受力点之间的区域应力值较小，形状近似为半椭圆，且褶皱将发生在此附近，因此作者剪掉小应力，大变形的区域设计了一个半椭圆边界薄膜装置。2009年，Guyla［11］从理论上证明了椭圆形薄膜边界的成立，给出了保持椭圆形边界上所有应变均为正值曲线垂跨比与薄膜泊松比应满足的关系，为椭圆形薄膜边界工程化打下理论基础。2012年，针对文献［10］中的平面薄膜装置，Ryan等［12］使用一种PI控制器消除了薄膜上因为承受热载荷热产生的褶皱，这说明热载荷对平面薄膜天线褶皱的影响不可忽视。

目前对薄膜边界形状的研究存在三点不足：首先，仅在承受机械荷载的情况下确立薄膜边界形状，没有考虑天线器件热对薄膜边界形状的影响；其次，对薄膜边界形状的研究具有很大局限性，均针对特定的边界形状展开，如抛物线等；这些形状的薄膜受到张拉后，边界将发生变形，导致实际形状与预设形状不一致；最后，学者将薄膜承受的张力作为一个确定的载荷，没有考虑到结构产生的张力偏差，与实际情况不一致。这些对高精度的天线结构分析都将产生一定的误差。

针对以上问题，本文考虑了天线单元发热的情况，且将索张力作为一定变化范围内的扰动力处理，基于索张力的不确定性，视索膜边界为样条曲线，以曲线控制点位移作为设计变量，通过优化索膜结构实际应力与参考应力之间的偏差，对任意边界薄膜的形状进行优化，以突破特定边界形状的局限。

2 平面薄膜天线有限元建模

平面薄膜天线结构如图1所示，牵连索和内悬索组成的张拉系统通过管道张拉方式［3］将薄膜悬挂在刚架上，天线阵列单元贴在薄膜表面。

将平面薄膜天线单元发热等效为一个二维稳态热平衡问题，认为温度对薄膜的作用为面内力，则薄膜的温度分布T仅为坐标x，y的函数，如式（1）所示：

且满足二维稳态热平衡方程，即公式（2）：

其中：K为薄膜导热系数；δ为薄膜厚度；h为薄膜等效换热系数；T∞为环境温度；Qi为等i个效热源。

天线单元产生局部的器件热，热源附近的区域发生热膨胀，而其他地方却不会，由此导致薄膜各处收缩或者膨胀程度不一致，相互约束产生热应力，造成膜内应力分布不均匀。在索张力的共同作用下，不合适的张拉将导致褶皱的产生，影响形面精度，制约天线的性能。基于薄膜具有微小抗弯刚度的物理性质，本文将膜面视为薄壳结构，内悬索和牵连索视为杆件单元，在内悬索与薄膜重合节点之间建立两个长度为零的单自由度弹簧单元来模拟索膜的滑动作用，天线阵列单元等效为恒温热源。针对图1所示平面薄膜天线结构，在ANSYS软件中用平面单元shell57和热传导单元link33建立有限元热分析模型，用壳单元shell181和杆单元link10建立有限元结构分析模型，为提高计算精度，采用shell181单元非协调的完全积分。此时，单元不会产生任何伪机械能，具有很高的精度。将热分析得到的薄膜结构温度场作为面内载荷施加到结构模型上，索张力通过给link10单元施加预应变实施。为保证单元之间的正确映射关系，结构模型与热模型共用一套网格，索膜滑动作用通过弹簧单元combin14模拟。

3 平面薄膜天线边界形状优化

本文采用B样条曲线建立薄膜边界，以控制点qi的位移量Pi（i＝1，2，…，N）作为设计变量，计算模型和样条曲线形状变化情况参见图2。

假设薄膜边界由L段样条曲线组成，每段样条曲线M取个控制点，每个控制点赋予两个自由度（x，y），则边界形状优化的设计变量数N＝L× 2M，曲线形状随控制点位置发生变化，图2中实线表示曲线初始形状，垂跨比λ＝h／l，a、b及qi为样条曲线控制点。虚线表示优化后可能出现的控制点位置以及薄膜边界曲线形状。

传统的天线结构大多以RMS或平面度作为优化目标，而薄膜抗弯刚度小、质量轻，需依靠悬索张拉展开，而不合适的张力易引起膜面应力分布不均，导致褶皱的产生，降低膜面精度，且长期处于高应力状态容易降低材料使用寿命。综合考虑膜面应力均匀性和材料使用寿命的影响，膜面应力应尽可能接近工程参考应力值。在工程实践中，受装置误差或其它扰动因素的影响，牵连索拉力具有不确定性，无法达到理想的无偏差拉力，故本文Pi为设计变量，基于索张力的不确定性，以索膜结构真实应力与参考应力值之间的偏差为目标函数，寻求最优边界形状。流程图见图3。

记悬索单元数为m，薄膜单元数为n，薄膜单元的参考应力值为，单元真实应力值为，索单元的参考应力值为单元真实应力值为，薄膜和索单元的应力偏差权因子分别为ω1和ω2。各约束条件如下：

1）薄膜应力不超过材料容许应力［σ］mem；

2）拉索应力不超过材料容许应力［σ］cab；

3）结构基频不低于给定值f0；

4）控制点位移最小值为Pl；

5）控制点位移最大值为Pu；

6）索张力最小值为Fmin；

7）索张力最大值Fmax。

索膜应力数据和基频可通过有限元热——结构耦合分析得到。

由图3可知最小应力偏差设计的数学模型为嵌套优化模型，优化模型由外层优化Ⅰ和内层优化Ⅱ构成。

外层优化Ⅰ：将内层优化得到的索张力视为确定力，找到悬索和膜面应力偏差最小情况下的控制点位移Pi，优化模型如式（3）～（9）所示：

内层优化Ⅱ：基于牵连索拉力不确定性，找到内悬索和膜面应力偏差最大情况下的一组索张力，优化模型如式（10）～（16）所示：

式中：Pi是第i个控制点位移量；

［σ］mem为薄膜材料容许应力；

［σ］cab为悬索材料容许应力；为膜面参考应力值；

f0为给定结构基频；

Pl为控制点位移的最小值；

Pu为控制点位移的最大值；

Fj为第j个牵连索拉力；

Fmin牵连索拉力的最小值；

Fmax牵连索拉力的最大值。

对以上嵌套优化数学模型采用序列二次规划法求解，即对目标函数做二次泰勒展开，对约束条件做一次泰勒展开，并用变尺度法构造目标函数的Hessen阵，上述优化模型可写作式（17）～（30）：

其中：

pk为优化过程中第k次迭代的设计变量；

δPk＝[δP1，δP2，…δPN]表示设计变量在pk处的增量，记为；为薄膜单元应力约束函数在Pk处的梯度向量；

本文的优化模型适用于不确定索张力条件下任意形状的薄膜边界，突破了特定边界形状的限制。

4 算例仿真

图4所示为平面薄膜天线，薄膜中心印有一个2 cm×2 cm的天线单元，边界由16段相同的三次B样条曲线组成，每段样条曲线跨度固定为0Ʊ 25 m，控制点数目为5个。

曲线两端点a、b固定，为保证结构对称性并减小计算量，本文将其余48个控制点位移Pi归并为两类：第一类控制点为曲线顶点qi1；第二类为位于曲线顶点和固定点之间的控制点qi2，qi2关于曲线对称轴对称；两类控制点都仅具有径向自由度，其径向位移分别表示为Pi1＝P1，pi2＝P2。

为验证本文提出的边界形状优化方法的有效性，分别进行了如下两个算例的仿真校验。

4Ʊ 1 平面薄膜天线热应力仿真校验

本文基于图4所示模型进行了热应力计算的数值仿真。薄膜中心天线单元等效为60℃的恒温热源，不考虑天线单元与外层空间的热辐射，为平衡辐射散热对膜面温度场分布的影响，增大膜面的对流作用，取对流换热系数为10，环境温度为25℃。周边悬索四个角点处张力为7 N，其他悬索张力为5 N。索膜结构材料参数如表1所示。

表1 索膜结构材料参数Table 1 Material parameters of the planar membrane antenna

根据二维线弹性热平衡，稳定热分析结果如图5所示。

由图5可知膜面温度受天线发热影响较大，热量以热源为中心向周围传递，温度从膜面中心到边界逐步降低。热载荷和索张力共同作用下的平面薄膜天线第二主应力云图如图6所示。若不考虑天线单元发热对薄膜应力均匀性的影响，索张力作用下的无热源平面薄膜天线第二主应力云图如图7所示。

对比图6、图7可知，天线单元发热对膜面应力分布影响很大。不考虑热源的平面薄膜天线，薄膜第二主应力的极大值出现在薄膜中心，边界处应力值相对较小，且结构应力均为正值；考虑天线单元的热效应后，薄膜第二主应力云图发生明显变化。应力值总体由薄膜中心区域向边界递增，中心区域应力值最小，出现负值，边界应力值最大。这是因为薄膜中心区域离热源比较近，温度变化明显，天线单元发热产生的热应力占主导作用，而薄膜边界离热源较远，温度变化不明显，索张力占主导作用。

本文提取膜面应力数据对两种工况下的薄膜进行对比，如表2所示。

表2 薄膜第二主应力结果对比Table 2 The second principal stresses of membrane

考虑天线单元的热应力后，薄单元第二主应力最大值、最小值和均值都减小，应力均方根较无热源的薄膜大，高出一个数量级。可见天线单元的热效应会使得膜面应力分布不均匀，薄膜抗弯刚度小，膜面应力分布不均匀会严重影响膜面精度。不考虑热应力的膜面应力与真实膜面应力差别明显，基于这种应力状态下设计的边界形状不适用于实际情况下的薄膜天线，薄膜边界形状的研究应该考虑热应力的影响。

4Ʊ 2 薄膜边界形状优化算例

针对图4所示薄膜天线，首先，在牵连索为理想的无偏差拉力的工况下，对薄膜边界形状进行优化，得到理想状态最优边界形状，然后，考虑工程实际中牵连索受结构装置或外界扰动等因素影响，张力具有不确定性的特点，进一步在拉力不确定的两种工况下，对平面薄膜边界形状进行优化。

工况一：理想状态下，索张力无偏差，薄膜均匀受拉，角点处索张力为7 N，其他位置索张力为5 N，如图8所示。

工况二：基于索张力不确定性，根据对称性质，将不确定索张力归为3类，如图9所示。中点处悬索张力为F1，中点两侧悬索张力记作F2，角点处悬索张力记作F3，张力具有不确定性，偏差范围为5%。

工况三：基于索张力不确定性，将16个牵连索拉力分为16个拉力变量，分别表示为F1、F2、…、F16，张力偏差范围为5%，如图10所示。

以初始形状下的控制点位置为基准，当控制点沿径向向薄膜对称中心移动时，位移为正，反之为负。薄膜初始预应力为1Ʊ 4 MPa，初始索张力为图8所示。取初始控制点垂跨比为λ＝0．132，基频不低于0Ʊ 06 Hz。两类控制点移动范围均为［－15 mm，16 mm］，设定薄膜参考应力值为0Ʊ 31 MPa，内悬索参考应力值为1Ʊ 81 MPa。由于薄膜单元数量远大于索单元，为平衡两部分应力偏差所占目标函数的权重，取薄膜应力偏差权因子ω1＝0．3，悬索应力偏差权因子ω2＝0．7，分别对以上三种模型进行优化。

表3为优化结果，由表3可知，经过优化后平面薄膜天线结构基频几乎不变。采用弹簧单元模拟索膜之间的相互滑移，结构受拉之后，索膜之间产生很小的相对位移，几乎可以忽略。工况一下的平面薄膜天线，由于其承受无偏差索张力，索膜结构单元应力偏差较小，目标函数值由1．81×106Pa降到218 Pa，下降幅度达99Ʊ 9%，第一类控制点位移P1由－4Ʊ 00 mm变为5Ʊ 00 mm，第二类控制点位移P2由－5Ʊ 00 mm变为6Ʊ 00 mm。考虑实际索张力与理想情况的偏差范围后，索张力为一组在5 ×［0Ʊ 95，1Ʊ 05］内的任意数值，目标函数值要大于无偏差索张力情况下的值，工况二索膜应力偏差下降幅值达到99Ʊ 2%，工况三索膜应力偏差下降幅值达到99Ʊ 6%。这是因为索张力在偏差范围内变动，使得薄膜结构应力数据改变，与无偏差索张力薄膜应力数据存在一定误差。

表3 薄膜天线边界形状优化结果Table 3 Results of boundary shape optimization of thin film antenna

三种工况下优化得到的薄膜边界形状相差不大，工况三较为接近工程实际，相较于其他两种工况更具有参考意义，薄膜初始形状及工况三下的薄膜优化形状对比如图11所示。

在平面薄膜阵天线的有限元模型中截取一段具有代表性的边界曲线（如红色框），图中点1、2、3、4、5组成的蓝色曲线为初始形状，点1、6、7、8、5组成的红色曲线为工况三优化得到的最优边界形状。其中，点1、5为固定点，点3、7为第一类曲线控制点，点2、4、6、8为第二类曲线控制点。在索张力偏差5%的干扰下，曲线控制点2、4沿径向向薄膜中心平移到点6和点8的位置，移动距离为8Ʊ 53 mm；曲线控制点3移动到点7的位置，移动距离为10Ʊ 83 mm。与初始形状相比，最优边界形状垂跨比增大。

通过优化，在提高膜面精度的同时极大地增加了膜面应力均匀性，优化效果十分显著，考虑牵连索拉力不确定性的优化是为了提高结构的稳健性，优化结果验证了该方法的有效性。

5 结论

1）本文采用三次B样条曲线作为薄膜边界形状，以曲线控制点位移为设计变量，通过优化实际结构索膜应力与参考应力偏差，突破了特定边界形状的限制，实现了对薄膜边界形状的优化。

2）本文提出的平面薄膜边界形状优化方法考虑了天线单元的热效应和索张力偏差对薄膜边界应力均匀性的影响，与实际工程更为接近，适用于任意边界形状的薄膜，对薄膜边界形状设计提供了一定的参考。

（References）

［1］ 杜星文，王长国，万志敏．空间薄膜结构的褶皱进展研究［J］．力学进展，2006，36（2）：187⁃199 Du Xingwen，Wang Changguo，Wan Zhimin．Study on the⁃wrinkle of the space membrane structures［J］．ADVANCES IN MECHANICS，2006，36（2）：187⁃199．（in Chinese）

［2］ 肖薇薇，陈务军，付功义．空间薄膜阵面结构褶皱分析［J］．宇航学报，2010，31（11）：2604⁃2609．Xiao Weiwei，Chen Wujun，Fu Gongyi．Wrinkle analysis for space planar filmreflect⁃array［J］．Journal of Astronautics，2010，31（11）：2604⁃2609．（in Chinese）

［3］ Fang H，Lou M，Hsia L，et al．Catenary systems for mem⁃brane structures［R］．AIAA⁃2001⁃1342，2001．

［4］ Greschik G，White C V，Salama M A．On the precisely uni⁃form and uniaxial tensioning of a film sheet via integrated cate⁃nary［J］．AIAA⁃2003⁃1096，2003．

［5］ Heald J C，Potvin M J，Jiang X X．Experimental investiga⁃tions to support a multi⁃layer deployable membrane structure for space antennae［R］．AIAA⁃2005⁃2317，2005．

［6］ Hiraku Sakamoto．Dynamic Wrinkle Reduction Strategies for Membrane Structures［D］．Colorado：University of Colorado，2004．

［7］ 汪有伟，关富玲，韩克良．内外部悬索联合张拉膜结构的设计与分析［J］．浙江大学学报（工学版），2010，44（6）：1213⁃1319．WANG Youwei，GUAN Fuling，HAN Keliang．Design and a⁃nalysis of inner and outer cables suspended membrane struc⁃tures［J］．Journal of Zhejiang University（Engineering Sci⁃ence），2010，44（6）：1213⁃1319．（in Chinese）

［8］ 刘充，李玉宇，保宏．边界几何参数对空间平面张拉膜结构固有频率影响研究［J］．振动与冲击，2014，34（20）：198⁃202．Liu Chong，Li Yuyu，Bao Hong．The natural frequencies of⁃pre⁃tensioned membrane structure with different boundary geo⁃metrical parameters［J］．Journal of vibration and shock，2014，34（20）：198⁃202．（in Chinese）

［9］ Wang X，Sulik C，Zheng W，et al．High⁃fidelity wrinkling analysis of membrane structures and elliptical cut optimization［R］．AIAA⁃2008⁃2255，2008．

［10］ Wang X，Zheng W，Hu Y R．Active flatness control of space membrane structures using discrete boundary SMA actuators［C］／／Advanced Intelligent Mechatronics，2008．AIM 2008．IEEE／ASME International Conference on．IEEE，2008：1108⁃1113．

［11］ Greschik G．Mechanically Seamless Catenary Edge Support for Orthotropically Stretched Membranes［R］．AIAA⁃2009⁃2161，2009．

［12］ Orszulik R，Shan J．A Simple PI Controller for Active Flat⁃ness and Tracking Control of a Space Membrane Structure［R］．AIAA⁃2012⁃1920，2012．

（责任编辑：康金兰）

Boundary Shape Optimization of Planar Membrane Antenna Based on Thermal Load and Cable Tension

HE Qun1，BAO Hong1∗，DU Jingli1，PENG Fujun2
（1．Key Laboratory of Electronic Equipment Structure Design，Ministry of Education，Xidian University，Xi’an 710071，China；2．Aerospace Systems Engineering Shanghai，Shanghai 201108，China）

The planar membrane phased array antenna is adversely affected by the heat of various device and the uncertain cable tension．A boundary shape optimization method for the planar mem⁃brane phased array antenna was proposed in this paper．First，considering the thermal effect of the antenna element，the thermo⁃mechanical Finite Element Analysis model of the planar membrane an⁃tenna was established．Then based on the cable tension uncertainty，and taking the membrane boundary as a cubic B⁃spline curve，the optimization model was established with the control point displacement as the design variable．By optimizing the deviation of the actual structural stress and the reference stress，the suitable membrane boundary shape was obtained．In the end，the validity of the proposed method was verified by numerical simulation．Compared with the current membrane boundary shape optimization，the proposed method can achieve any arbitrary curve optimization．

planar membrane antenna；device heat；cable tension combination；boundary shape op⁃timization

TN957Ʊ 2

A

1674⁃5825（2017）04⁃0454⁃08

2017⁃03⁃01；

2017⁃06⁃30

国家自然基金重大计划（51490660）；国家自然科学基金（51675398）；上海航天科技创新基金（SAST201413）

贺群，女，硕士研究生，研究方向为结构与控制的一体化设计。E⁃mail：hq＿hcw＠163．com

∗通讯作者：保宏，男，博士，研究方向为电子装备结构设计与精密控制。E⁃mail：hbao＠xidian．edu．cn