肇庆学院数学与统计学院(526061) 邢志涛

一类几何图形的问题设计

肇庆学院数学与统计学院(526061) 邢志涛

对一类由三角形两边或者各边分别向外作正方形的这一类图形展开讨论,对相关的几何问题进行设计,揭示它们之间的联系.

几何图形 平面几何 问题设计

平面几何学科的特点是生动直观的图形和严谨的逻辑结构.图形是几何证明的一支有力拐杖,离开它,几何问题无从谈起[1].由一个三角形两边或者各边向外作正方形的这一类图形所涉及到的几何问题经常出现,并且问题之间密切联系.这类问题蕴涵了许多涉及到度量关系和位置关系的几何问题,融合了诸如作辅助线法、变换法、向量法等多种几何证明方法.对于这一类图形引起的问题进行设计,从简单到复杂的进行探索,揭示它们之间的联系,是本文的主要内容.

问题1. 如图1,分别以△ABC的边AB,AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接EG,求证:S△ABC=S△AEG.

图1

有了问题1作为基础,下面的问题就迎刃而解了.

问题2.如图2,分别以△ABC的边AB,AC,BC为边,向外作正方形ABDE,ACFG和BCHI,连接DE,EG,GF,FH,HI,ID.设AB=c,AC=b,BC=a,试用a,b,c来表示六边形DEGFHI的面积.

图2

解根据问题1,

问题3. 如图3,分别以△ABC的边AB,AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接EG.若O为EG的中点,求证:BC=2AO.

图3

证明延长EA到H,使得EA=AH,连接GH.显然OA是△EGH的中位线,则有GH=2OA.在△AGH和△ABC中,AG=AB,AH=AC,∠GAH= ∠BAC,所以△AGH∼=△ABC,从而GH=BC=2OA.

问题4. 如图4,分别以△ABC的边AB,AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接EG.若O为EG的中点,OA的延长线交BC于点H.求证:AH⊥BC.

图4

证明延长AO到I,使得AO=OI,连接GI与EI,则四边形AEIG为平行四边形.不难发现∠AGI=∠BAC.在△AGI和△BAC中,BA=AG,∠AGI= ∠BAC,AC=GI,则△AGI∼=△BAC,从而 ∠ABC= ∠GAI.由此,AH⊥BC.

问题5. 如图4,分……