北京丰台二中(100071) 甘志国

一类绝对值函数最值的求法

北京丰台二中(100071) 甘志国

我们先看看两个例题:

例1 求函数y=|x−1|+2|x−2|+···+100|x−100|(x∈R)的最小值.

解先将原函数写成1+2+···+100=5050个绝对值之和的形式,再首尾配对,层层分组,得

当且仅当x∈[1,100]时,以上等式右边第一个括号取到最小值;当且仅当x∈[2,100]时,以上等式右边第二个括号取到最小值;···;当且仅当x=71时,以上等式右边最后一个括号取到最小值.所以,当且仅当x=71时,f(x)取到最小值.可算得最小值是99080.

定理1 若函数

所以,当且仅当x∈[bk0,bk0+1]时,f(x)取到最小值.

推论1 若函数

(1)当n为奇数时,当且仅当时,f(x)取到最小值;

(2)当n为偶数时,当且仅当时,f(x)取到最小值.

例1 (1)(2014年高考江西卷理科第11(1)题)对任意x,y∈R,|x−1|+|x|+|y−1|+|y+1|的最小值为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

(2)(2014年高考江西卷文科第15题)x,y∈R,若|x|+|y|+|x−1|+|y−1|≤2,则x+y的取值范围为____.

解(1)C.由推论1(1)可得,当且仅当x∈[0,1]时,(|x|+|x−1|)min= 1;当且仅当y∈[−1,1]时,(|y+1|+|y−1|)min=2.所以所求最小值为3.

(2)[0,2].由推论1(1)可得,当且仅当x∈[0,1]时,(|x|+|x−1|)min=1;当且仅当y∈[0,1]时,(|y|+|y−1|)min=1.所以(|x|+|y|+|x−1|+|y−1|)min=2.再由题设|x|+|y|+|x−1|+|y−1|≤2,可得|x|+|y|+|x−1|+|y−1|=2,且x∈[0,1],y∈[0,1].进而可得x+y的取值范围为[0,2].

例2 (2006年高考全国卷II理科第12题)函数的最小值为( )

A.190 B.171 C.90 D.45

解C.由推论1(1)可得,当且仅当x=10时,f(x)取到最小值,且最小值是2(1+2+···+9)=90.

例3(1)(2009上海高考文科第14题)某地街道呈现东—西、南—北向的网络状,相邻街距都为1,两街道相交的点称为格点.若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(−2,2),(3,1),(3,4),(−2,3),(4,5)为报刊零售店,请确定一个格点____为发行站,使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短;

(2)(2009上海高考理科第13题)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建……