北京化工大学附属中学(100029) 韩毅 张华

GeoGebra探究过任意点作三次函数切线条数问题

北京化工大学附属中学(100029) 韩毅 张华

利用数学软件GeoGebra,对2014年北京卷文科20题进行探究,解决了过任意点作三次函数切线条数问题.

三次函数 切线 geogebra

在研究高考题时,遇到了过具体的点作三次函数切线的条数问题,于是想探究这个点的位置与过它作三次函数切线条数有什么关系这一问题.笔者通过GeoGebra作动态图,拖动平面上的点,观察过它作三次函数切线的条数,提出猜想,再通过计算证明猜想.在研究过程中遇到了两个困难,其一是出现一个不能理解的多项式,其二是GeoGebra作动态图过程中,过任意点与三次函数相切的切点难以确定.作者通过查阅相关GeoGebra书籍中得到启示,最终突破了难点,制作出了过平面内任意一点,作三次函数切线的动态图.通过探究,最终作者解决了过任意一点作三次函数切线的条数问题.

一、问题的提出

在高考当中经常会遇到三次函数的问题,其中笔者在做2014年北京卷文科最后的20题时,引起了我的思考,现呈现如下.

问题(2014年北京卷文科第20题)已知函数f(x)=2x3−3x.

(1)求f(x)在区间[−2,1]上的最大值;

(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;

(3)问过点A(−1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论.)

本题的第二问为在x=1的直线上存在一个动点P(1,t)可以做出f(x)的切线三条,进而求t的取值范围.第三问给了平面上三个不同的点A、B、C,问过A、B、C分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?这道题……