徐忠宏

摘要：高考试题是教学备考最好的指挥棒，它考察知识的切入点往往新而不俗，具有探索性，正确地把握了考查难度.对高考题的解答探究，有助于我们把握高考对该部分知识点难度和深度要求，有助于发现高考题目与平时训练题目的联系，增强分析判断并解决题目的能力.如果我们能认真思考，深入探究每道高考试题，不仅可以发现许多规律。而且可以进一步提高我们分析问题、推理问题的能力和应用数学的意识.下面就近年的一道高考试题进行一些思考和探究。

关键词：高考题；思考；探究

随着高考的不断推进，也越来越备受国家的高度重视，我们一线教师唯有从细小环节抓起，即使是一道常规题也勿放过，本文就是作者在应战高考数学的日子里的点滴积累与同行分享。 例（2010山东 理）如图椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 ， 为顶点的三角形的周长为 ，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 和 .

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；

（2）设直线 和 的斜率分别为 ， ，证明： ；

（3）是否存在常数 ，使 恒成立？若成立，求出 的值；若不存在，请说明理由.

探究 在解决该题的过程中，不难发现第（2）（3）问实际是关于解析几何中定值的探索性问题，由此，在下文中着重对第（2）（3）问进行探究：

在该问中我们注意点 ， 的特殊性——既是椭圆的焦点，又是双曲线的顶点.而 为该双曲线上异于顶点的任一点，通过上述分析，可以发现第（2）问实际上说明了该双曲线上任意一个不同与顶点的点与该双曲线的顶点的连线的斜率之积等于1.

思考 在原题的该问下，求出双曲线标准方程为 ，如果双曲线的方程发生变化，那么这两条直线斜率之积还为1吗？如果是定值，为什么？如果不是定值，该值由什么决定？

探究1 题中双曲线的焦点在 轴，我们先来探究焦点在 轴的双曲线.

设双曲线的标准方程为 .设其两个顶点为 ， ，双曲线上任一点 （不同与顶点，即 ）.

则直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，

故 ①

由点 在双曲线上.可得 .所以

.代入①式，得

，显然，当且仅当 时， .此时双曲线离心率为 ，即对任意离心率为 的双曲线，这两条直线斜率之积都等于1.反之，当 时， .

那么当双曲线变化时，斜率之积怎样变化呢？

设该双曲线离心率为 ，则 .

由此我们可以得到更为一般的结论：

对于焦点在 轴上的双曲线，其离心率为 ，则双曲线上任意一点（异于顶点）与两顶点的连线的斜率之积为定值 ，该定值与点 的位置无关.

探究2 对于焦点在 轴上的双曲线，该结论是否也成立？如果成立，该值还是 吗？

设双曲线的标准方程为 .设其两个顶点为 ， ，双曲线上任一点 （不同与顶点，即 ）.

则直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，

故 ②

由点 在双曲线上.可得 .所以

.代入②式，得

设该双曲线离心率为 ，则 .所以，这样的两直线斜率之积仍为定值 .但与焦点在 轴上的双曲线中得的定值不同.

结论

综上，结合探究（1）与探究（2），可得如下结论：

双曲线上任一（异于顶点）与两顶点的连线的斜率之积为定值，该值与焦点所在的轴有关.设离心率为 .

（1）若焦点在 轴，该定值为 .

（2）若焦点在 轴，该定值为 .

通过我们数學教师教师日积月累，以期对高中数学教师以他山之石，可以攻玉，对我们常规教育发挥应有作用，帮助高中生渡过题海战术的疲劳，沿着健康的学习道路继续前行，提高中学生思维力度做一点贡献。