郑素娟，黄美发，张奎奎，张 蕾，吴 芬

(桂林电子科技大学 机电工程学院 海洋信息工程学院，广西 桂林 541004)



多工况下数控机床主轴热误差建模*

郑素娟，黄美发，张奎奎，张 蕾，吴 芬

(桂林电子科技大学 机电工程学院 海洋信息工程学院，广西 桂林 541004)

单一工况条件下数控机床主轴热误差模型无法准确预测其它工况下的热误差。通过研究分析支持向量机回归的算法和参数的关系，提出一种经过遗传算法(GA)在多工况条件下优化的支持向量机(SVM)的建模方法。以一台数控车床为研究对象，进行热误差测量实验，利用电涡流位移传感器和温度传感器同步测量机床主轴两个方向热误差和温度变化数值，获取两种工况的建模数据。运用遗传算法对SVM的惩罚函数、核函数参数和不敏感损失函数进行多工况条件下的优化选择，建立机床主轴热误差补偿模型。通过热误差建模实验验证，该方法在工况一的残差为0.838μm，工况二的残差为0.653μm，在保持较高预测精度的同时，能在两种工况下进行有效的热误差预测，使热误差补偿更适合实际加工环境。

数控机床；热误差；多工况；支持向量机

0 引言

在精密加工中，机床热变形造成的加工误差即热误差占总误差的70%左右[1]。数控机床热误差补偿技术是通过实时采集机床温度变化量，输入热误差补偿模型进行预测需要补偿的热误差，并通过补偿模块进行实时补偿。经过热误差补偿的数控机床在实际加工工件时可获得可能比之前更高的精度，所以在机械制造业中已受到越来越广泛的重视。

2009年，林伟青等提出了基于动态自适应加权最小二乘支持向量机的数控机床热误差建模方法。在机床热误差补偿建模中，神经网络和灰色理论是近些年应用比较多的方法，这些利用单一方法的补偿效果在一定程度上取得了成功但是还不够精确。2011年，张毅结合灰色理论和人工神经网络各自的优点，提出一种经过基于灰色理论预处理的神经网络热误差补偿模型，并在实验中进行了检验。2013年，姜辉等提出了一种基于贝叶斯推断的最小二乘支持矢量机建模方法，用于补偿和预测数控机床主轴热漂移误差，预测结果精度较高，鲁棒性好。但在单一工况下的数据样本所训练的SVM热误差模型，在多种工况，甚至变工况条件下其泛化能力还是不能满足实际要求。

针对这个问题，经过对一台数控车床进行热误差和温度采集试验，在两种不同的工况下，利用非接触式的电涡流位移传感器和温度传感器实时采集主轴的Z、X方向热误差及温度变化值，以获得这两种工况下的数据样本。在模型训练过程中，运用遗传算法在这两种工况下对SVM的惩罚函数C、核函数参数σ和不敏感损失函数ε进行优化选择，构建数控机床主轴热误差补偿的优化模型。经过实验对比证明，多工况下的GA-SVM热误差建模方法能保持较高的预测精度，更好的适应实际加工要求。

1 基于GA优化参数的SVM车床主轴热误差数学模型

1.1 支持向量机回归算法

支持向量机回归(support vector machine regression，SVR)算法是基于SVM方法的回归预测以可控制的精度逼近非线性函数，同时具有高精度、良好的泛化推广能力等性能，应用广泛[4]。

已知给定样本x和y，则样本集可表示为：

(1)

其中，l为样本数目，xi和yi分别为输入向量和对应的输出向量，xi∈Rn，yi∈R(i=1,2,…,l)，n为xi向量维数，R为实数集。 对于热误差建模，首先通过升维将温度变化值和热误差的输入向量从低维映射到更高维度的特征空间里， 再特征空间里构造线性的回归函数，即：

f(x,α)=ωx+b

(2)

(3)

约束为：

(4)

yi-f(xi)≤ξi+ε(i=1,2,…,l)

(5)

(6)

式中，C为惩罚因子。

引入拉格朗日函数：

(7)

式中，γ为拉格朗日乘子。

对ω，ξ，b求偏导，可得：

(8)

消去ω、γ，求出α后，可得f(x)的表达式为：

(9)

因为要计算高维空间中向量的内积，所以根据Hilbert-Schmidt理论，引入K(x,xi)=h(x)h(xi)核函数，代入式(9)得到f(x)的表达式：

(10)

目前常用的核函数有 10多种，经验证，高斯径向基(RBF)核函数可使SVM获得非常平滑的估计。高斯径向基核函数可表示为：

(11)

1.2SVM参数对热误差模型的影响

Vapnik等在研究中发现，高斯径向基核函数的参数σ、惩罚因子C和不敏感损失函数ε直接决定SVM回归模型性能优劣。

RBF核函数参数σ影响样本数据在高维特征空间中分布的复杂程度。若σ取值很小，SVM对单一工况下的训练样本的预测精度就会很高，但对不同工况下的新样本预测精度低，即推广和泛化能力低；若σ取值很大，SVM则会降低预测精度，且泛化能力差。因此RBF核函数参数σ的取值直接影响到SVM热误差模型的性能。

惩罚因子C则调节SVM在高维特征空间中的置信范围和经验风险的比值以使SVM的泛化推广能力最好，不同工况的训练样本中都存在各自不同的最优惩罚函数C，使得SVM的泛化推广能力最好，C小即对经验风险的惩罚小，SVM模型的复杂度小，此成为“欠学习”现象，反之称为“过学习”。

根据文献[4-5]，在单一工况的训练样本下，不敏感损失函数ε的取值决定支持向量的数量。ε越大，支持向量的个数就越少，SVM热误差模型的预测精度就越低，反之亦然。但预测精度的提高也影响算法的时间，所以，最优的ε可以保证该训练样本下所建热误差模型的速度和精度。不敏感损失函数ε还影响热误差模型对测量样本噪声的预测，ε值较大，则可适用噪声较大的样本数据。

由于不同工况下，机床关键点温度和主轴热误差的变化并不是相同的，所以，对于单一工况的训练样本而言，即使得到最优的惩罚函数C、核函数参数σ和不敏感损失函数ε，也不能保证训练后的热误差模型在其它工况的数据样本中能达到同样的预测效果，即泛化推广性和鲁棒性无法达到要求，使得热误差补偿模型在实际应用中效果不佳。

通过分析SVM参数对训练模型的影响，本文以多工况下机床温度和主轴热误差作为GA-SVM的训练样本，这样可以使遗传算法在更多实际工况训练样本下寻找最优的惩罚函数C、核函数参数σ和不敏感损失函数ε，使得在此最优参数下训练得到SVM热误差模型精度更高，更贴近实际要求。

1.3 基于遗传算法的SVM参数优化

遗传算法(GeneticAlgorithm，简称GA)是一类借鉴生物界的进化规律演化而来的随机化搜索方法[6-7]。遗传算法突破传统的优化方法，其结构简单，可全局寻优，特别适用于非线性搜索问题。运用遗传算法对所建SVM热误差模型进行惩罚函数C、核函数参数σ和不敏感损失函数ε的寻优，以SVM热误差模型的拟合结果的均方误差作为适应度函数， 适应度越小拟合误差越小，模型就越好。

具体优化步骤如下：

(1)将SVM的惩罚函数C、核函数参数σ和不敏感损失函数ε随机组成n组染色体；

(2)选择群体数量M=20，最大遗传代数T=200，依据实际数据复杂程度进行选择；

(3)确定适应值函数：为使热误差与实际值的拟合误差尽量小，在此把预测值和实际测量值的均方误差作为适应值函数；

(4)随机生成群体；

(5)选择适应度高的串复制，然后交叉变异，即遗传迭代，当适应值函数足够小，则停止迭代，得到最优SVM热误差模型参数。整个遗传算法优化SVM参数流程图如图1所示。

2 机床主轴热误差测量与建模

2.1 机床主轴热误差测量实验

对一台数控车床CX100进行主轴热误差测量实验，其主轴最高转速1600r/min。通过分析车床主轴、传动结构可知其在高速运转时的主要热源集中在电机、变速箱、主轴前部的轴承套。所以共选取10个关键测温点测量车床电机、变速箱盖、主轴轴承套和室温，各传感器测温位置如表1所示。其中1号传感器用于测量室温，2～9号用于测量主轴和变速箱温升，10号用于测量电机温度。通过采集的温度数据，利用模糊聚类[8]优化温度点，最终得到3个温度变量作为影响主轴热变形的测量点，分别是温度传感器3、5、10的温度变量θ3、θ5、θ10。

表1 温度传感器布置

热误差以电涡流位移传感器采集，其分辨率为0.01μm。分别在测试棒的径向X、轴向Z放置位移传感器测量数控车床主轴的热误差。因为篇幅有限，只以轴向Z的热误差为研究对象，径向X的热误差补偿原理一样。数据采集系统为东华DH5923动态信息采集仪器。采集系统和传感器如图2、图3所示。

图2 数控车床热变形采集系统

图3 电涡流位移传感器

采集如下两种工况。工况一：主轴空载状态，以主轴恒速1000r/min运行2h，从车床冷态达到热平衡。工况二：数控车床主轴空载，开机以主轴转速500r/min运行1h，再以转速1000r/min运行1h达到车床热平衡状态。实验测量系统每间隔2min进行一次数据采样，经过滤波处理后，得到工况一、二的温度传感器与Z轴热误差测量数据如图4、图5所示。图4a为工况一，主轴恒速1000r/min运行2h。在此期间，温度传感器3、5、10的温度变量θ3、θ5、θ10开始逐渐升高，达到热平衡状态时温度基本不再变化。图4b为工况二，开机以主轴转速500r/min运行1h，再以转速1000r/min运行1h达到车床热平衡状态，温度传感器3、5、10的温度变量θ3、θ5、θ10在前1h内以500r/min运转达到一个低的温度平衡点，在后1h转入1000r/min温度又逐渐升高，达到新的更高的热平衡状态。图5a为工况一，主轴恒速1000r/min运行2h。在此期间，Z轴变形量先持续增大，后又基本稳定不变。图5b为工况二，开机以主轴转速500r/min运行1h，Z轴变形量开始逐渐增大后稳定。再以转速1000r/min运行1h，Z轴变形量进一步增大后又稳定。

(a)工况一

(b)工况二图4 数控车床温度值

(a)工况一

(b)工况二图5 主轴轴向Z热变形

2.2 车床主轴热误差模型解算及分析

通过遗传算法在工况一和工况二的数据样本相结合的新样本下对SVM的惩罚函数C、核函数参数σ和不敏感损失函数ε进行寻优，得到C=756.32，σ=0.035，ε=0.0604，并以最优参数对SVM在组合训练样本下进行训练，获得热误差模型如图6所示，在工况一和二的数据样本结合后，通过遗传算法优化的SVM热误差模型与实际测量值十分贴合。组合训练样本的意义在于使遗传算法寻优得到的最优参数是基于两种工况下的最优参数，通过最优参数训练后的SVM热误差模型可同时适应这两种工况，并能得到更高的精度。

(a)工况一

(b)工况二图6 多工况下GA-SVM热误差建模结果

(a)工况一

(b)工况二图7 多工况下GA-SVM热误差模型残差

2.3 热误差建模的结果分析与比较

通过热误差模型结果可知，在工况一和二的数据样本结合后，通过遗传算法优化的SVM热误差模型与实际测量值十分贴合，其残差如图7所示。工况一的最大残差为0.838μm，均方根误差为0.087；工况二的最大残差为0.653μm，均方根误差为0.057。可见GA-SVM热误差补偿模型精度高，可很好的适应不同的加工工况。

为对比验证多工况下GA-SVM热误差模型的有效性，只将工况一的数据样本作为训练样本，经过遗传算法参数寻优后对SVM进行训练，并将工况二的数据样本作为测试样本。尽管遗传算法寻优得到的SVM参数为C=959.56，σ=0.0057，ε=0.0011。各模型拟合对比如图8所示。

图8 各模型拟合对比效果

通过对比可知，以工况一为训练样本的SVM预测工况二的数据时，基本预测趋势相同，但其残差最大值为11.38μm，无法达到精密加工要求。根据1.2的分析可知，单一工况下的SVM热误差模型只能在该工况的训练样本下达到高精度，如果应用在其他工况条件下，则只能依靠SVM自身的泛化推广能力，虽然SVM的泛化性可以增强，但始终不能保持原有的精度进行预测，不能保证SVM热误差模型在实际应用中所要求达到的效果。而多工况SVM热误差模型是在多个工况样本中进行参数寻优，所得到的SVM模型适应多个工况条件，而且依然可以保持较高的精度，优于单工况下的热误差模型。

3 结束语

由于单工况下的SVM热误差建模不能有效的适应其它工况下的机床热误差，本文提出在2种不同工况下基于遗传算法优化SVM热误差模型的惩罚函数C、核函数参数σ和不敏感损失函数ε，使得优化后的热误差模型能更准确预测在不同工况下的机床热误差。经过实验建模分析比较，证明这种方法的有效性，可使热误差模型更适应实际加工要求，为数控机床热误差建模提供一种方法。

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(编辑 李秀敏)

Modeling of CNC Machine Tool Spindle Thermal Error with GA-SVM Based on Multi Working Condition

ZHENG Su-juan, HUANG Mei-fa, ZHANG Kui-kui, ZHANG Lei, WU Fen

(School of Mechanical and Electrical Engineering, School of Marine Information Engineering，Guilin University of Electronic Technology, Guilin Guangxi 541004,China)

In a single working condition, the error model of NC machine tool can not accurately predict the thermal error of other work conditions. Analysis of the relationship between support vector machine regression algorithm and the parameters, put forward a modeling method with support vector machine (SVM) optimized by genetic algorithm (GA) in multiple working conditions. To do the thermal error measurement experiment on the CNC lathe, using the eddy current displacement sensor and temperature sensor to measure the thermal error and temperature on machine tool spindle direction, collecting the data of 2 different work conditions. Selection and optimization using genetic algorithm for SVM kernel function parameter, penalty function and insensitive loss function under multiple working conditions, to establish the model of machine tool spindle thermal error. Through the thermal error mode experimental validation, The method of the residual in work condition one is 0.838μm, work condition two is 0.653μm, this method can keep high prediction accuracy, while forecast the effective thermal errors in the 2 working conditions, The thermal error compensation is more suitable for the actual processing environment.

CNC machine tool; thermal error; multiple working conditions; support vector machine

1001-2265(2017)07-0027-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.07.007

2016-09-22；

2016-10-29

国家自然科学基金资助项目(51365009)；广西硕士研究生科研创新资助项目( YCSZ2014134)；2015年度桂林电子科技大学北海校区青年教师基础能力提升资助项目(UB16005Y)

郑素娟(1990—)，女，安徽宿州人，桂林电子科技大学硕士研究生，研究方向为计算机辅助公差设计，(E-mail)522164525@qq.com；通讯作者：张奎奎(1988—)，男，河北邯郸人，桂林电子科技大学硕士，研究方向为机械精度保持性研究，(E-mail)444256592@qq.com。

TH165;TG659

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