张磊

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州521041）

DGE下动态表征激发大学生几何思考的机制研究

张磊

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州521041）

DGE下激发大学生几何思考的动态表征类型主要有三种：符合特定结构的图形，蕴含某些不明显数学性质的图形，认知冲突的图形．基于三种动态表征类型激发大学生内在思考实验的案例分析，整理出一个DGE下动态表征激发大学生几何思考的机制：当动态表征与个体所认知图形产生连结或冲突时，会唤起所拥有的旧经验，进而激发其作思考实验推论出几何性质或解释冲突的原因．

动态表征；动态几何环境；几何思考；拖曳行为；几何探索

1 研究背景

DGS是动态几何软件（Dynamic Geometer’s Software）的缩写，DGS技术是基于DGS平台的计算机操作技术．在数学教学方面，DGS包括Cabri、“几何画板”（The Geometer’s Sketchpad）和Maple等软件[1]．一般而言，DGS里的几何图形具有以下几个重要的功能与特色：（1）电脑化尺规作图且作图快速、精确；（2）可以进行动态操作，保持几何图形结构；（3）提供动态模拟．作图、测量、计算，改变图形形状观察几何规律，是用动态几何软件进行教学的一个基本模式[2]．早期关于DGS的相关研究多着重于探讨DGS如何帮助学习者学习几何概念、发现几何性质或观察个体如何进行几何探索及产生猜测、验证及证明等．

近年来关于动态几何的研究开始探讨DGS与学生思考关联的研究主题．例如，Arzarello等人[3]通过分析学生在几何探索中处理问题的认知过程，发现学生在运用DGS解决问题过程中会呈现七种不同的拖曳模式，但关于DGS如何激发学生进行数学思考尚未触及；Tall[4]认为虽然电脑提供了一个拥有可操作的视觉展示和符号工具的人性化互动界面，但它仍需要借由实施者的想法去进行思考来决定什么是重要的？什么是需要证明的？Tall进一步指出，当个体在想象定理可能成立的条件，并试图去看结论是否成立时，思考是一探索和推理证明的常用方法．而启发学生自发性数学思考是数学学习活动重要的目的，因此，几何活动中DGS与学生思考的关系便是一个重要的研究话题．

动态几何环境（Dynamic Geometry Environment，DGE）是一个提供学生使用DGS来探索几何的学习环境，涉及个体、电脑软件与学习活动的互动．个体在电脑屏幕上看到的图形变化会激起学生去思考与探索几何图形的变动关系，或者利用鼠标拖曳改变几何构图进行几何探索．Arzarello等人[3]指出DGE下学生的拖曳行为与其思考是密切相关的且能够反映出他们的认知行为．Laborde[5]认为学生的拖曳行为可以外显图形内部几何物体的关系，使个体能够观察到图形蕴含的几何性质．Lopez-Real&Leung[6]认为拖曳行为本身如同一个建构数学知识的互动工具，使学习者可以借由图形变化来观察几何图形的总体属性．因此，在DGE下学生的思考、学生的拖曳行为与电脑的动态表征是学生进行几何探索的三个重要关键．本文目的在于探讨与分析大学生的几何探索和推理论证过程，并从DGE下学生的几何思考、学生的拖曳行为与电脑的动态表征三个维度来进行分析和探究，主要探讨下列两个问题：

（一）在几何探索过程中，激发大学生进行几何思考的动态表征类型有哪些？这些动态表征类型又是如何影响几何思考实验的？

（二）在操作DGS的过程中，激发大学生进行几何思考的机制是什么？学生的思考、学生的拖曳行动与动态表征三者间的关系又是什么？

2 研究理论基础

依据研究目的及其所要探讨的研究问题，下面分别从DGE下学生的几何思考、学生的拖曳行为与电脑的动态表征三个维度架构起本文的研究理论基础．

2.1 几何思考

数学家在探索几何问题时，往往非立即直接进行形式化证明，有时会先通过构图进行视觉化或操作几何图形来观察其数学性质，再进行推理与验证，也即他们会通过心智模拟操作几何图形进行实验观察与归纳．例如，数学上著名的“等腰三角形两底角相等”定理（几何原本第一卷第五个命题）的证明方法有许多种，Tall[4]曾提到一种心智操作方式：如果当我们改变等腰三角形ABC的顶点A的位置时（参考图1），那么将会发生什么事情呢？移动顶点A，使得AB＞AC，则∠ACB＞∠ABC．反之，移动顶点A，使得AB＜AC，则∠ACB＜∠ABC．因此，当对顶点A的移动处于一个平衡状态，即AB=AC时，可以看出∠ACB=∠ABC．这种思考模式的特色是不用以实践方式具体操作来验证命题，而是通过想象的方式来进行的．再例如，科学家伽利略依据钟摆理论作为实验的假设，在脑中设想光滑无摩擦力的斜面，并模拟球的滚动过程，最后推论出球的滚动类同钟摆摆动的等高定律，这种在心智中想象的操作实验是典型的思考实验范例．上述两个例子共同之处在于他们的推理过程中，都未具体操作实际物体，而是通过心智操作方式进行推论与验证．此类型的思考方式既不是具体实验操作，也不是单纯的形式证明，而是以想象的方式来模拟操作与进行推论．

Vygotsky[7]在探讨个体的高阶思维时，认为有两种主要中介引导着人类的行为方式，分别是科技工具（technical tools）和心理工具（psychological tools），科技工具的功能是做为人类影响活动中的物体的执行者，它是外在导向的且能够导致物体的变化，心理工具则不会使心理操作中的物体产生变化，它是控制个体内在活动的媒介，为内在导向．当个体经过复杂的内化过程后，科技工具可能变成心理工具且形成新的意义，此时科技工具就如同符号中介（semiotic mediator），具有符号中介的功能．Mariotti[8]依据Vygotsky的研究观点，把动态几何软件引入到学生的几何活动中，指出DGS具有提供复杂的符号系统并支持符号中介的过程功能，也即是属于一辅助学生发展符号运用的心理工具．

上述观点提示笔者：几何思考在几何学习中是一种重要的思维方式，而要探讨学生几何活动过程中的几何思考，需特别注意学生对于科技工具和心理工具的使用和发展过程．而Mariotti[8]认为DGS是几何活动中重要的中介工具，随着科技进步，多媒体教学概念正风行草偃之际，DGS已常被使用于几何学习与教学活动之中．因此，分析学生如何运用DGS的符号中介功能进行几何实验与推理的数学思考活动不仅是学术研究的重要主题，更是具有一定的教学实践价值．

2.2 拖曳行为

学习者在动态几何环境中可借由拖曳屏幕上的图形来探索几何性质，从观察图形变化的过程中学习几何知识．近年来在有关学生于动态几何环境下进行几何探索的相关研究中，有些学者开始聚焦于学生的拖曳行动，观察学生如何使用拖曳来探索几何问题，并提出拖曳行动的认知模式[9]（参考表1）．Arzarello等人[3]使用此模式做为分析的工具来分析学生在DGE下探究几何情境时所使用的解题策略，以及观察学生在DGE下解决问题过程中使用鼠标的认知行为．Talmon等人[9]认为拖曳模式在分析学生几何观念时是一个很重要的工具，同时也表示拖曳的功能帮助学习者检验是否有依尺规作图的方法来作图，因为在DGE中如果是依尺规作图的方式赋予几何图形某种特殊的结构时，该结构在拖曳过程中仍会保留下来．

表1 七种拖曳模式

学生在几何探索的最初阶段会发展出漫游拖曳、有界拖曳和引导拖曳，主要在观察几何图形，找寻图形中蕴含的几何性质．Arzarello等人[3]认为漫游拖曳在产生猜测的过程中提供学习者灵感，且它与科学实验所使用的经验法则有着密切的关系．当他们发现到某些特殊的几何图形或物体（如：点、直线等）的行为时，会产生无声轨跡拖曳来探究他们观察到的现象．Arzarello等人[3]表示无声轨跡拖曳在学生的认知过程中连接了几何图形与性质间的关系，此拖曳模式的产生意味着学生进入到溯因推理（abduction）的阶段，即学生开始注意到图形中所显现的不变性，思考不变的物体与几何性质间的关系，并准备朝向验证、证明的阶段．线拖曳、连结拖曳与拖曳检验这三种拖曳模式主要出现在验证和证明的推理过程之中，学生此时也逐步在形成一个论证的结构，开始由观察、发现几何图形及性质的实验归纳阶段进入到验证和确认几何性质或猜测的演绎推理阶段．

在DGE下学习者通常会通过拖曳行为来外显出自己的内在想法，这七种拖曳认知模式分别彰显着不同的解题策略和认知行为，所以研究者可以借由这些拖曳认知模式来了解与分析学生的思考实验．不同的拖曳模式会产生不同的图形变动，这些动态表征除了会受到拖曳行为的影响之外，还会与图形所蕴含的几何性质和软件所赋予的动态行为有关．因此，不同的拖曳认知模式以及产生的动态表征可做为观察与分析个体思考的有效事证．

2.3 动态表征

若将一些信息依据它们的时间与空间的关系以动态方式呈现，就称为此信息的动态表征[10]．学生在DGE下经由拖曳所产生的图形变化，即是一种动态表征．因为在拖曳的过程会产生一个时间序列，此时间序列会影响图形在空间中的变动．

在DGE下的动态表征除了受到拖曳行为的影响之外，也与组成动态表征的几何图形的动态行为有关．Talmon等人[9]定义动态行为是在DGE中拖曳图形元素时，图形元素在屏幕上可能产生的变化的自由度．亦即，被拖曳图形元素本身可能变动的限制条件，以及它所牵引出与相关图形元素变动的反应．举例来说，如果使用者利用DGS的构图工具作出一个三角形，那么当他拖曳三角形的顶点时，会使得三个边产生变化．此时顶点是被拖曳的图形元素，三个边是与顶点相关的图形元素．而顶点的自由度的大小取决于它是否能随意拉动，或是会受到边的影响．

由于动态几何软件拥有动态行为的特点，使得学生在DGE下处理几何问题的时候，不只受到视觉化的图形表征所影响，也受到组成此图形的几何图形的动态行为所影响．动态行为的特性会影响到学生构图性理解的建构，因为要理解一个几何图形的构图结构，需考虑到工具的限制条件及数学法则的程序性．在DGE下图形的动态行为会与作图顺序有关，相同的图形但不同的作图顺序会产生不同的动态行为，进而影响动态表征的变化．

在Talmon等人[9]的研究中显示学生有反序（reverse order）预测的行为，即学生猜测或想像图形的行为和电脑所显现的动态行为不同．从学生具有反序预测行为这点可知软件具有自主性，它将与个体的思维产生互动并与个体过去对几何图形的认知产生冲突．当学生在GSP上拖曳某些图形元素时，发现有些点或线段并不能如他们所愿随意地拖曳，进而引发他们去探究和思考原因为何．当我们在分析学生DGE下动态表征与几何思考的交互作用时，亦需要注意到图形元素本身的动态行为所产生的作用．

3 研究方法

Arzarello等人[3]已通过一些几何活动探究了中学生的几何探索过程，但未进一步探讨与说明学生的思考与DGS之间的互动关系，笔者认为也许是由于中学生的几何推理与证明能力不足，因此较难分析几何探索活动中学生的思考过程．本文以大学生为研究对象来观察与分析DGE下的几何探索过程．几何探索过程包含猜测、验证与改进的过程，实为一个相当复杂的过程，本文主要聚焦于大学生的几何思考与动态几何环境的互动上．另外，由于需要深度观察与分析大学生的几何探索过程，本文将采用定性研究的方法．

3.1 研究对象

由于几何思考属于内在的心智活动，并不是显而易见且轻易就能产生的，它是一个推理的过程，所以学生需要有充足的数学知识为基础才有可能激发他们作几何思考，又由于研究是在动态几何环境下进行的，所以学生必须具备GSP的操作经验．为此，本研究选取22位数学专业大二学生作为研究对象，他们皆修过高等几何课程，具有足够的数学知识，且熟悉GSP的基本操作及具备运用GSP探索和处理一些几何问题的能力．此外，研究中除了要观察单一学生的几何探索过程外，也要观察学生在DGE下的互动情形，以及互动是如何影响他们几何探索的，所以将学生分组，其中两人一组有6组，一人一组有10组．

3.2 活动设计

以Arzarello等人[3]所采用的问题作为本文中几何探索的几何问题（参考表2），此问题属于开放性问题，其蕴含了一个容易被观察到的几何性质，但不易被证明．学生可经由将四边形ABCD拖曳成任意的图形，观察EFGH的各种变化情形，进而发现图形蕴含的几何性质，所以适合作为几何探索的问题．

问题：ABCD是一四边形，作四个内角的角平分线，四条角平分线两两分别交于E、F、G、H四点，具体探索活动如表2．

表2 动态几何探索活动单

为了能够顺利观察到学生的几何思考运作情形，笔者设计出了动态几何探索活动单（见表2）．笔者把事先设计好的动态几何探索活动单分发给每个研究对象，给予约30分钟时间让他们基于动态几何探索活动单开展几何探索活动．在学生进行每一个几何探索活动前，笔者先向学生明确几何问题及活动要求，活动期间，笔者主要工作是深入观察和记录他们在DGE下的几何思考过程，其中如果学生有问题可随时提出，但笔者只帮忙解释题意和解决DGS相关操作问题等，不直接给予探索活动问题的答案，当学生在探索的过程中花费大量时间专注于图形的动态行为时，笔者会引导他们去注意图形整体结构的变化等．

3.3 资料收集与处理

在学生进行探索过程中，笔者通过动态几何探索活动单、录影等方式收集活动信息资料．动态几何探索活动单主要是收集学生个体探索活动的信息资料，录影主要是纪录学生DGS操作情况及学生间讨论情况的影音信息资料．学生依序编码为生1～生22，将所有活动单依码扫描至电脑中存档，方便后期查阅．而影音资料，除了以逐字稿纪录讨论的内容外，还对此依据学生操作DGS的类型进行分类整理，这样便于后期通过诠释性研究法开展讨论分析．在资料的处理过程中，笔者邀请了几位数学教育专家介入指导，确保了资料分析的准确性及研究结论的有效性．

4 研究结果与讨论

由上述可知，动态表征同时受个体的拖曳行动和图形的动态行为所牵制，学生经由操作与观察几何图形的动态表征会激发他们做几何思考．通过个案资料的分析，发现有三种类型的动态表征会激发学生进行几何思考．

4.1 动态表征类型：“符合特定结构的图形”

符合特定结构图形的动态表征意指它在变动过程中会呈现出特定的图形结构，例如，在GSP中一个四边形的对角互补，或其四顶点共圆等．学生在观察或操作几何图形的动态表征过程中，当发现符合特定结构的图形时，会激发他们进行假设与验证的几何思考，此时学生联结动态表征与他们过去所认知的图形与知识，来思考动态表征在符合特定结构图形的情境下可能产生的结果．以下以案例一与案例二说明：

【案例一】

在活动三中，生6探索四边形ABCD四内角平分线的交点构成的图形EFGH，他似乎察觉四边形EFGH的对角和为定值，因此通过GSP的测量功能测量其各内角角度．接着，生6拖曳原图形ABCD使其成为平行四边形或正方形，发现EFGH的两两对角和皆为180度，观察一阵子后（约7分钟），重新使用GSP画出一圆，并在圆上作图形ABCD（参考图2），再作各个角平分线，并再度测量EFGH四个内角的角度．

笔者（A）询问他正在观察什么现象时，生6表示四边形ABCD对角相加是180度时，四边形EFGH对角相加也是180度．以下是笔者与生6互动的片段．

生6：可以测量角度吗？

A：嗯！可以．（生6操作GSP，大约6分钟．）

A：好，你想到什么？

生6：我想到那个…就是量它的面积（生6操作GSP，观察与思考．大约7分钟）

生6：那我重作一个吧，画ABCD的外接圆．（生6操作GSP，观察与思考．大约5分钟）

A：现在你看到什么？

生6：如果外面的对角相加是180度，里面相加也是180度．外面如果是外接圆的四边形，里面也是．不相似！然后边长没有关系，面积也没有关系．

【案例分析】

生6在活动一中使用GSP建构几何图形的动态表征，到活动二时生6思考几何图形的动态表征，在活动三中生6大多着重于GSP的操作，直到操作测量动作后，才开始进行一些几何推理．

生6在拖曳四边形ABCD形成特殊四边形的过程中，将焦点从四边形的外型，转移到四边形的结构，即注意到四边形EFGH的角度结构，这激发生6进行了约7分钟的思考，且形成“外面四点（A、B、C、D）共圆，则里面四点（E、F、G、H）会共圆”的猜测．接下来约5分钟时间，生6再度通过GSP重新建构与操作动态表征来进行验证几何思考的假设．

实际上，不管四边形ABCD是否为圆内接四边形，四边形EFGH的对角和永远是180度．学生并非从形式化的方式证明此特定性质，而是运用心智的操作实验，通过想像进行推理，亦即几何思考，最后当心智运作图形复杂时，学生再通过GSP进行模拟验证．

图2 圆内接四边形

此案例显示当学生在观察动态表征符合特殊结构的情形时，会进行几何思考．从注意几何图形的外型，转移到注意几何图形的结构，提出假设（假设ABCD是圆内接四边形会成立）并通过推理的方式进行验证，再通过具体的实验操作（使用GSP模拟并改变图形观察数值变化）来验证所发现的不变性．

【案例二】

生1与生2小组活动．在活动二中，生1一开始就提出“如果将四边形ABCD拉成平行四边形时，DEFG会形成什么图形”，生2立即回应“会形成平行四边形”，生1则持续思考，生2试图说服生1，并开始进行讨论．这个过程分成如下四个阶段：第一段，主要是生2在说明为什么四边形ABCD为平行四边形时，EFGH也为平行四边形，其中生1一直在思考其中的结构关系；第二段，生2通过脑中思考以及手势操作，向生1说明，生1在脑中进行几何思考与检验生2所提出的想法；第三段，生1与生2延续上一段的讨论，通过屏幕上几何图形的动态表征，配合手势操作进行几何思考；第四段，生2想像B点与C点重合，在脑中很快的进行了几何思考，想像到会形成一个三角形，马上联想到熟习的三角形内角平分线交于一点．以下为生1与生2互动的四个片段．

第一段：

生1：如果把它拉成平行四边形的话…会变成什么图形？

生2：平行四边形啊！

生1：就会变成？

生2：所以是这样子就变成这样子（手指着电脑屏幕），就是一个平行四边形啊！

生1：那如果把ABCD拉成平行四边形?

生2：那里面就是平行四边形啊！因为是角平分线啊！

生1：等一下喔…

生2：如果只动A，只有AD会动，（思考一会）那么这三条都会动（三条角平分线）．

生1：那只拉成平行四边形．

生2：应该是这三条线都会动，那这三条线都会动．

生1：对喔，如果拉成平行四边形．（持续思考中…）

第二段：

生2：如果我拉一拉有时会平行耶，两条线很接近，那就会很远．

生2：这两边平行，那…就只有两个交点．

生1：一对平行，两对平行，所以只要AB平行CD的话，GF也会平行HE．

生2：不一定啊！可是这样子、这样子、这样子（手势描述边的关系）

生1：可是啊！你这边平行它的话！为什么不一定，你这样平行它的话．

生2：喔，你说GF啊！

生1：对啊！GF就平行HE，你这样平移它的话，内错角就相等．

生2：可是旁边不一定会平行啊（EF与GH）！那它有可能差很多啊！例如这样子（手势描述边的关系），然后…

生1：哦～～你说AD和BC，对对对！

生2：线可能会平行，就是那个边啊（EF与GH）！

生1：嗯嗯嗯．

生2：如果是这样子的话，那应该是这样子会平行．

第三段：

生1：你再说一次

生2：如果AB跟CD平行．

生1：把D拉过去（指着屏幕）．

生2：就变成HE这一条跟GF这一条会平行，因为它们这边是…

生1：我说的就是这个啊（指着屏幕EF与GH）！

生2：有吗？有吗？好像没有耶！

生1：因为你刚说AD跟BC不一定会平行，所以它角不一定一样．

生2：疑～不是不对吗？那…我要讲什么？

生2：如果只有一对平行，另一对不平行．

第四段：

生2：如果我把B跟C合在一起的话，那这四个点就会变一个点，因为，把B跟C拉很近啊，就会变成三角形，它们都是内角平分线交点，所以交点就是三角形的内心．一个三角形只有一个内心嘛，所以这样子有四个交点，如果变成一个平面三角形，那这四个点就很接近，变成一点．

【案例分析】

生1与生2在活动二中思考几何图形的动态表征，一开始就注意到了符合特殊结构的图形．在第一段，虽然生2立即的反应表现出一开始着重于几何图形的外型，但是通过对生1的讲解他开始说明图形的结构，然后激发生2开始进行几何思考，思考只移动A点时，三条角平分线会跟着移动；在第二段，生1也开始进行几何思考，并向生2说明他几何思考后的推论；在第三段，生1与生2重新开始他们的几何思考，并依据电脑画面中几何图形的动态表征进行思考，发现如果只有一边平行另外一边不平行，则里面的图形也会是一边平行另一边不平行；在第四段，生2一想像到形成一三角形，马上联想到旧经验立即得到结果．

上述四个片段都显示出当学生注意到动态表征符合特定结构时，会激发他们进入几何思考．虽然有时候几何思考的时间比较繁长，且常常需要图形与手势的辅助，但有些时候几何思考是相当快速的，譬如：在第四段，生2一讲到两点重合，当下立即反应出三角形内角平分线交于一点．只有当学生注意到图形结构时，几何思考才会开始启动，若只注意到图形的外型，则发生的只是一种心像反映而非开始几何思考，譬如第一段一开始生2立即的反应．

4.2 动态表征类型：“蕴含某些不明显数学性质的图形”

学生在操作几何图形的动态表征过程中，有时会发现动态表征蕴含着某些不明显的数学性质（亦即图形在特定情形下具有的特殊性质），但学生不能很清楚地掌握为什么（或不清楚其数学性质），这时他们会思考是哪一些条件使得此情形成立（或为什么会这样），即激发起几何思考．以下以案例三与案例四说明．

【案例三】

在活动三中，生11与生12观察并操作四边形ABCD及其四内角平分线交点E、F、G、H的动态表征．一开始，生11随意地拖曳某些点，当A点与D点重合时，观察到ABCD形成一个三角形且所有对角线交于一点．然后，生11继续拖曳D点，发现有时候四边形ABCD的四个内角平分线交点E、F、G、H会交于一点（参考图3）．最后，他在保持E、F、G、H交于一点的情形下拖曳A点，发现A点轨迹似乎具有某一特殊性质，进而激发生12开始进行几何思考．以下为生11与生12的讨论片段．

生11：…某些点会交于一点（E、F、G、H中的某些点交于一点），而且不只一个点，所以可能会有一个轨迹是所有点（E、F、G、H）都交于一点的．

生12：交于一点，就是四点（A、B、C、D）同圆嘛．啊！不是，是距离（比手势），应该是有一个内切圆？

生12：所以那个交点（E、F、G、H交于一点）到底是为什么呢？（停顿思考了一下）

生12：为什么会交一点？…（思考一下）就这个点到每个边距离都一样…（思考一下）有内切圆．

【案例分析】

生11经由拖曳D点发现有些时候角平分线交于一点（动态表征）后，提出了“D点应该有一个轨迹”的猜测，该猜想引起生12做几何思考，生12停顿思考了一下，运用数学知识且以手势操作动态心像形成“四边形ABCD有内切圆”的猜测．在这过程中，生12的停顿思考，显示出生12不断地在进行几何思考，思考为什么会有交于一点的情形．在此情况下的几何思考，会促使学生通过相关知识与逻辑推理思考形成此动态表征的原因．

图3 四边形角平分线交于一点

【案例四】

生3在观察动态表征E、F、G、H交于一点的情形时，他通过几何思考与推理，发现四边形ABCD会有内切圆．以下撷取生3与笔者（A）的讨论片段如下．

生3：（操作GSP图形）但是这样确定这四个点有在一起吗？所以有一点点误差没关系吧？（停顿思考约3分30秒）

生3：啊～～会有圆在里面．

A：为什么？

生3：是这样吧！因为它们都是角平分线，角平分线不是到两边等距离，每边都等距离就是半径啊！

A：你怎么突然注意到这个？

生3：我也不知道耶！因为我想到它是角平分线，然后我就想到角平分线的性质，所以就想到这个．

【案例分析】

生3在观察动态表征四个角平分线交于一点的情形时，他是通过图形角平分线的性质联想到了角平分线上的点到两边等距离，进而推出ABCD具有内接圆．生3首先是观察到了动态表征所蕴含不明显的数学性质，然后通过几何思考来推理形成这一情形的原因．

4.3 动态表征类型：“认知冲突的图形”

当动态表征与个体所认知的图形产生冲突时，会让学生的思考变得多元化，通常第一个会问“为什么会这样子”，接着会问“假如这样子就会得到…”．通过几何思考使得认知冲突转化成一个新的猜测或结论．以下以案例五说明：

【案例五】

在活动一中，生1与生2使用GSP建构好几何问题的动态表征（参考图4）．进入活动二之前，他们发现图形上角平分线两两的交点有六个，这时候生1对于图形与问题题干产生了认知冲突，以下是生1与生2的讨论过程片段．

生1：那这些没有点出来的点呢？它们也是相交，不是吗？

生2：不是选四个吗？

生1：所以它这个情况其实是没有这种东西的．（一直观察GSP中的图形）

生2：因为四条线应该是六个点．

生1：因为一定不只这几个点啊，一定还有其他的点．所以它是不是拖拖拖，拖到一种情况，让里面只有四个交点？

【案例分析】

屏幕上四条角平分线交于六点这一动态表征让生1对于问题的题干产生了认知冲突．生2开始思考为什么会有六个交点，并提出任意四条线应该有六个交点这一常识，来说明为什么会有六个交点．生1一直观察动态表征，一开始怀疑是否有角平分线交于四点的特殊情形，然后经过几何思考后，提出将图形进行拖曳后有可能形成角平分线交于四点的情形．生1关注于特殊结构，并通过几何思考尝试得到动态表征符合特定结构的因果关系，虽然在这里生1还没得到一个具体的猜测，但具有此倾向．另外，生2开始思考为什么，并通过几何思考寻找其原因．

图4 四边形角平分线两两相交

5 主要结论及启示

综上所述，DGE下激发大学生几何思考的动态表征类型主要有三种：（1）符合特定结构的图形；（2）蕴含某些不明显数学性质的图形；（3）认知冲突的图形．同时基于三种动态表征类型激发大学生内在思考实验的案例分析，整理出一个DGE下动态表征激发大学生几何思考的机制（参考图5）：当动态表征与个体所认知图形产生连结或冲突时，会唤起所拥有的旧经验，进而激发其作思考实验推论出几何性质或解释冲突的原因．

图5 动态表征激发几何思考机制

拖曳操作的认知行为会影响个体对动态表征的解读，而动态表征会与个体所认知的图形产生连结或冲突，进而唤起旧经验来激发个体作思考实验，思考实验则是当个体为了验证猜测和面临几何情境过于复杂时，会引导其产生拖曳行为．因此，三者形成一个循环系统，而之间的交互作用机制如图6所示．

当学生在观察动态几何软件产生的动态表征时，通常不会立即反应，而是通过几何思考后再做适当的拖曳活动．这种反应方式显示学生是在进行有意义的活动而非盲目的行动．因此建议授课教师在布置动态几何学习环境时，可参考能激发学生几何思考的三种动态表征类型设计教学任务，以便引发学生进行有效且高效的几何探索活动．

图6 思考实验、拖曳行为及动态表征的交互作用机制

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Research on the Mechanism of Motivating Undergraduate Students’Geometrical Thinking by Dynamic Representation under DGE

ZHANG Lei
（College of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong,521041）

There are three types of dynamic representations that can motivate undergraduate students’geometrical thinking:figures accord with specific structure,figures containing some implicit mathematic quality,and figures with cognitive conflict．Based on the case analysis in which three types of dynamic representations motivate students to do thought experiments,we introduce a mechanism of motivating undergraduate students’geometrical thinking by dynamic representation under DGE:when the dynamic representations join or conflict with an individual’s cognitive figures,it will evoke his owned experience and further stimulate him to do thought experiments so as to infer geometric property or explain the cause of conflict．

dynamic representation；dynamic geometric environment；geometrical thinking；dragging act；geometric exploration

G 427

A

1007-6883（2017）03-0073-10

责任编辑朱本华周春娟

2017-03-09

广东省2016年特色创新类（教育科研）项目（项目编号：2016GXJK105）．

张磊（1981-），男，河南确山人，韩山师范学院数学与统计学院讲师．