陈仕洲

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州521041）

变参数Rayleigh型p-Laplacian微分方程周期解的存在性

陈仕洲

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州521041）

应用重合度理论和一些分析技巧，研究了一类含有变参数Rayleigh型p-Laplacian广义中立型微分方程，获得其周期解存在性的新的充分条件，推广和改进了已有文献中的相关结论.

周期解；Rayleigh型p-Laplacian方程；中立型算子；重合度

1 引言及引理

由于含偏差变元的p-Laplacian微分方程周期解存在性在生态学、物理学和控制理论等领域应用广泛，因而引起人们极大的兴趣，目前已有许多研究成果[1-7]．例如文献[5]、文献[6]研究了一类具偏差变元的Lienard型方程

文献[7]研究了

周期解的存在性．本文将应用Mawhin连续性定理和一些分析技巧，研究一类更广泛的p-Laplacian Rayleigh方程

引理1[7]如果,则映射A在Ω⊆CT上存在连续逆映射A-1，满足

设X和Y都是实Banch空间，L:DomL⊂X→Y是指标为零的Fredholm映射，DomL表示L的定义域，即dimKerL=codimImL＜∞.，且ImL是Y中的闭集．存在连续投影P:X→X,Q:Y→Y使得

ImP=kerL,ImL=KerQ=Im(I-Q),X=KerL⊕KerP,Y=ImL⊕ImQ,

引理2[1]（Manasevich-Mawhin）设X，Y都是Banach空间，L:DomL⊂X→Y是指标为零的Fred⁃holm映射，Ω⊂X为有界开集，上是L-紧的．若下列条件成立

（3）deg{JQN,Ω⋂kerL,0}≠0,其中J:ImQ→KerL是一个同构.

引理3[8]设

为应用引理2，改写方程（3）为如下形式：

显然方程组（5）等价于Lx=Nx.

由L的定义，可以得到

因此L是指标为零的Fredholm映射．定义映射P:X→X,Q:Y→Y

2 主要结论

定理1设存在常数r1,r2,r4,k1,k2,k3≥0;d＞0,r3＞r1满足：

（A4）下列条件之一成立：

则方程（3）存在一个T-周期解.

证明考虑方程Lx=λNx,λ∈(0,1).即

对（9）式两边在[0,T]上取积分可得

根据积分中值定理，∃t1∈[0,T],s.t.

我们断言：∃t2∈[0,T],s.t.

下面分两种情形证明断言（12）成立：

情形1如果|x1(t1-τ(t1)|≤d，则显然有

因而

故引理2的条件（3）被满足．根据引理2知，方程Lx=Nx在中有解……