吴迪

【摘 要】数年来，科学界对孤立子的研究呈不断发展进步趋势，许多领域中都存在孤立子现象以及与孤立子密切相关的问题，比如，在对无中心Virasoro对称代数或孤立子方程进行研究时产生的可积耦合系统。目前，学术界已找到多种求解可积耦合的方法：1，摄动；2，拓展相应的Lax对；3，拓展新的Loop代数； 4，运用半直和李代数。首先通过离散零曲率方程得到一族新的可积晶格方程，再由迹-恒等式建立一个双-哈密顿结构，最后，证明了该方程族是Liouville可积的。

【关键词】可积晶格方程；双-哈密顿结构； Liouville可积

A novel family of discrete bi-Hamiltonian systems

WU Di

（College of Mathematics and Systems Science， Shandong University of Science and Technology， Qingdao Shandong 266590，China）

【Abstract】Soliton theory research is developing in many scientific fields and there exists soliton and soliton theory closely related problems， integrable coupling system is in the center of the study without Virasoro algebra or symmetrically soliton equation. Scientists have found many integrable coupling methods： one， the perturbation method； two， expand the corresponding method of Lax on； three， extend new Loop algebra of the method； four， the use of a half straight and lie algebra method. A novel family of integrable lattice equation is derived from the discrete zero curvature equations. A bi-Hamiltonian structure of obtained family is established by discrete trace identity. Then， Liouville integrability for the obtained family is demonstrated.

【Key words】Integrable lattice equation； Bi-Hamiltonian structure； Liouville integrable

1 研究背景

自然界中有很多复杂的现象可以用可积晶格方程来描述，比如，晶体中的质子振动，自然界中的脉冲现象，电子网络分布以及电流等等。至此，科学家们已经从多种角度对可积晶格方程进行了系统化的研究，如逆-散射转换[1-2]，对称和主对称[3-4]，连续-极限和r-矩阵结构[5]，哈密顿和双-哈密顿结构[6-9]，可积耦合系统[10-11]，由Casorati行列式建立复合解[12]，达布变换[13-14]等等。

如果一個方程族

能够作为谱问题（3）和（4）的相容性条件

那么，方程族（1）是拉克斯可积的。

其中，离散的空间谱问题如下所示

以及如下的相应时间谱问题

其中un=u（n，t），n是离散变量，t是连续变量，n∈Z，t∈R。

晶格函数f（n）的位移算子E及其逆算子的定义为

Efn=fn+1=f（n+1），E-1fn=fn-1=f（n-1），n∈Z（5）

空间谱问题（3）和时间谱问题（4）是方程族（1）的拉克斯对，显然，寻找适合空间谱问题（3）的新的可积晶格方程仍然是十分复杂的。此外，双-哈密顿结构[8-9]的存在性问题是可积晶格方程的特征之一。若一族可积晶格方程具有双-哈密顿结构，那么可以找出一个继承算子，通过计算得到相应方程族的守恒泛函和对称性。……