周伟松　李小柳

【摘 要】极限理论是数学分析的基石，而实数完备性定理又是极限理论的基本理论[1-2]。本文给出了实数完备性六个基本定理的一个循环证明，通过对这六个基本定理的推导可以启发学生对数学分析的理解和提高学习兴趣。

【关键词】實数；确界；完备性；柯西收敛

1 实数完备性定理[1-2]

实数完备性的表述通常有六个定理，本文将给出这六个定理之间的一个循环推导。六个命题表述如下：

命题1（确界存在定理）设S为非空数集。若S有上（下）界，则S必有上（下）确界。

命题2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限。

命题3（区间套定理）若{[an，bn]}是一区间套，则存在唯一点ξ，使得

ξ∈[an，bn]，n=1，2，…

命题4（有限覆盖定理）设H为闭区间[a，b]的一个开覆盖， 则在H中必存在有限个开区间来覆盖[a，b]。

命题5（聚点定理）实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。

命题6（柯西收敛准则）数列{an}收敛的充要条件是：对任给的ε>0，存在正整数N，使得当n，m>N时有|an-am|<ε。

2 一个循环证明[3]

命题1

证明：详见文献[1]中第二章定理2.9（第35页）。

命题2？圯命题3

证明：由于a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…≤b2≤b1而且{an}为单调递增的有界数列，依据命题2，{an}有极限ξ，且有

an≤ξ，n=1，2，….（1）

同理，单调递减的有界数列{bn}也有极限，并且根据区间套的条件 （bn-an）=0有 b = a =ξ，且

bn≥ξ，n=1，2，….（2）

联合（1-2）式，即得an≤ξ≤bn，n=1，2，….

最后证明ξ是唯一的。不妨设ξ'也满足

an≤ξ≤bn，n=1，2，….

则有

|ξ-ξ'|≤bn-an，n=1，2，….

由区间套的定义得

|ξ-ξ'|≤ （bn-an）=0，

故有ξ'=ξ。

命题3

证明：可参见文献[1]中第七章定理7.3（第165页）。

命题4

证明：设E为有界无穷点集，因此存在M>0，使得E？奂[-M，+M]。由闭区间的聚点均含于该闭区间，故若有聚点，必含于[-M，+M]。

反证法：若E无聚点，即[-M，+M]中任何一点都不是E的聚点，则对于？……