杨丽+于咏梅

摘要：通过Excel等计算机软件可以解决《高等数学》中一些用常规方法无法解决的问题，同时也可以验证《高等数学》中一些不太容易理解的原理。这种实践过程可以培养大学生以数学理论为基础，以软件为工具来解决现实中形形色色的问题的能力，并逐渐养成以近似为目标的“工程思想”。

关键词：高等数学；Excel；编辑公式；近似计算

《高等数学》是高校理工科各专业普遍开设的重要课程，是一门偏重于计算的基础学科，是学习后继课程如大学物理、系统建模和现代科技知识的基础，也是对学生的数学思想、数学方法、数学素质进行综合培养和提高的关键课程.数学软件作为《高等数学》教学的辅助工具，是对《高等数学》的补充和完善.它使一些过去只能通过思维和想象领会的数学内容，得到直观的表示和处理，一些与数据处理有关的繁难运算，通过计算机得以简化，这对数学概念、数学规律的掌握、数学方法和数学命题的深刻认识有重要作用.

长期以来，数学的教学工作都强调对基本理论的掌握与训练，习题的解决就是使用书本上的原理与方法的一个实践过程。比如：一元高次方程的求解要分解因式，定积分要求出被积函数的原函数。学生都固化了这种解决问题的模式，当他们面对要解决的实际问题时，情况可能不会像想象的那样--也许一个高次方程根本无法分解因式，一个被积函数可能求不出其原函数，这种情况出现的概率远远高于教材中所见过的习题。

基于学以致用的原则，我认为在《高等数学》的教学工作中要适当引入这类“不太优美”的数学问题的解决办法。一般认为，专业的数学软件或者程序设计可以解决这类问题，但现实是大一的学生还不具备这方面的知识与能力。

Excel 完全可以解决这类问题，除了易学易用之外，还非常直观。现列举几个实际问题说明解决这类问题的教学过程：

例1）求方程 x3 + 1.1x2 + 0.9x - 1.4 = 0 在 （0，1） 之间的一个近似解。

显然这个三次方程是无法分解因式求根的，使用Excel 解决步骤如下：

①在A2 单元格中输入0，在A3 单元格中输入0.01，然后同时选中A2 和A3 单元格，下拉至A102，这样就得到了自变量0、0.01、0.02、……0.99，1，如图1 所示：

图1

②在B2 单元格中输入公式（=POWER（A2，3）+1.1*POWER （A2，2）+0.9*A2-1.4），如所示：

图2

③这样就得到了当 x = 0 时方程左边的值，选中B2 单元格，下拉至B102，就得到了不同的 x 所对用的值，同时可以知道方程的根介于0.67 至0.68 之间，如图3 所示：

图3

④插入散点图可以进一步了解函数f （x）= x3 + 1.1x2 + 0.9x - 1.4 在区间（0，1）之间的变化规律，如图4所示：

图4

在教学过程中除了强调Excel 的基本使用方法，还要学生学会基本的公式编辑，如POWER（num，n）的意义。

例2）用矩形法、梯形法和抛物线法求定积分 的近似值

这个问题在定积分的第一节，学生此时还不知道牛顿-莱布尼茨公式，用Excel 解决此问题可以使学生对定积分的基本概念有更加深刻的理解，同时为以后使用更高级的数学软件打下良好的基础，尤其是加深對抛物线（辛普森）法的理解：

①了解矩形法、梯形法和抛物线法的基本理论，并编制 x及f （x） ，如图5 所示：

图5

②分别在单元格B17、F17 和I17 中编辑公式，如图6 至图8所示：

图6

图7

图8

通过预先告诉学生这个定积分的真实值为圆周率 π ，可以进一步得到在定积分的近似计算时抛物线法优于梯形法，而梯形法优于矩形法；

例3）傅里叶级数展开式的验证：傅里叶级数是高等数学后期的教学内容，大多数学生是以“套公式”这种被动的模式来学习这些内容的，并对把简单函数展开成复杂函数这一过程表示“不屑”，所以教师除了说明傅里叶公式在人类科学史上重要性之外，最好寻求一种直观的方式让学生看到此公式的意义。

设 f （x） 是周期为4 的周期函数，它在 [-2，2） 上的表达式为

将 f （x） 展开成傅里叶级数，并做出函数的和函数的图形。

根据公式可得：

用Excel 表示上述和函数稍微有些麻烦，因为是无穷项的和，这里只求前10 项的和，随着分母2k-1 的逐步增大，余项的和将越来越小。下面用三张图片表示这个求和的过程，如图9至图12 所示：

图9 （需要注意 x 的定义域，将 x =0 的行删除）

图10

图11

图12（以单元格E3 的公式编辑说明每个单元格的编辑公式）

图13前十项的和及近似图形如图：

从图可以看出，前10 个正弦波的叠加已经比较接近函数的图像。

参考文献：

[1]同济大学数学系. 高等数学（同济第七版上册）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

[2]同济大学数学系高等数学（同济第七版下册）[M]. 北京：高等数学出版社，2014.

[3]LINGO和EXCEL在数学建模中的应用[M].科学出版社，2016.