☉江苏泰州市孔桥初级中学 严亚琴

摭谈一道平面几何题的解法探究与启示

☉江苏泰州市孔桥初级中学 严亚琴

平面几何是初中数学课程教学的重要内容之一，几何图形翻折问题是几何学习的重点和难点.由于这类问题要求学生具有一定的综合分析能力，因而受到命题者的青睐.笔者在数学教学中，曾经遇见一道典型的图形翻折问题，学生独立处理的正确率很低.本文对此题进行深入思考与分析，呈现三种解题方法的探究过程，希望能给读者带来一定的参考价值.

一、案例呈现与分析

案例：在△ABC中，∠A=θ，AB=k，P为AC的中点，沿着直线BP将△ABP进行翻折，A点变为A′，满足∠A′CB=θ，则BC=______.

分析：本题主要考查图形翻折问题，题设内容言简意赅，对学生的解题而言存在一定的难度，主要体现在：题目设计图形翻折问题但是没有提供现成的几何图形，要求学生根据题设信息准确作出图形；借助于题设信息分析问题时，需要添加合理的辅助线；需要观察与分析基本几何图形组合与分离的思维能力.在此，笔者对解题思路与方法进行探究，展示三种具体方法的探究过程，供参考.

二、解法探究与启示

解法探究1——“四点共圆”尽显奇妙.

根据题意，构建图形（如图1），连接A′C、AA′、A′B，由于翻折过程中存在对称性特征，所以PA′=PA.

在△AA′C中，PC=PA=PA′，则△AA′C为直角三角形

图1

由于∠PAB=∠PA′B=θ，则∠A′CB=∠ACB+∠PCA′.又∠PA′C=∠PCA′，则∠AA′B=∠ACB，则A′、C、B、A四点共圆.

在Rt△ABC中，根据三角关系可得：BC=AB·tanθ= ktanθ.

启示：本题借助于“四点共圆”的数学规律进行解题，解题过程简洁、利落，解法可谓“精妙”.多数学生难以真……