☉宁夏中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校 张 宁

关注基本模型 彰显问题本源
——勾股定理“总统证法”的几何模型在解竞赛题中的应用

☉宁夏中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校 张 宁

一、模型呈现

1876年，美国第20任总统伽菲尔德（JamesAbram Garfield）利用两个相同的直角三角形验证了勾股定理. 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，伽菲尔德就任美国第20任总统，后来人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”.

如图1，将两个相同的直角三角形拼成如图所示的直角梯形，两个直角三角形斜边之间的夹角等于90°.设BC=DE=a，AB=CD=b，AC= CE=c.

这种验证勾股定理的方法通常称为“总统证法”.其实，这种证法是将“毕达哥拉斯证法”中的图形截取了一半，如图2所示.因此，勾股定理的“总统证法”与“毕达哥拉斯证法”的本质相同.

模型分析：从图形方面来看，图1有三个最基本的特征，一是有两个全等的直角三角形，即Rt△ABC≌Rt△CDE；二是△ACE是等腰直角三角形，AC=CE，∠ACE=90°；三是四边形ABDE是直角梯形.从思想方法来看，“总统证法”体现了两种较为重要的数学思想方法，一是体现了富比尼（G.Fubini）原理，即“算两次”的数学思想方法；二是体现了面积方法在解决问题中的作用.

“总统证法”中构造的几何图形是一个非常重要的几何模型，它在解题中有着广泛的应用.利用这一几何模型，可简解与之相关的竞赛试题.

图1

图2

二、应用例举

例1 （2017年全国初中数学联合竞赛福建省赛区初……