☉江苏张家港市第一中学 姚楚舒

常量变量对应静动，数形互动促进理解
——以两道“含参”二次函数综合题为例

☉江苏张家港市第一中学 姚楚舒

含参数的二次函数综合题是近年来不少地区中考必考题型，正逐渐取代曾经流行一时的“伪抛物线几何题”（以坐标系、函数图像为载体，本质上是考查平面几何构造与证明）.本文选取两道近期收集到的含参数的二次函数综合题，利用数形结合解决问题，并跟进教学思考，供研讨.

一、两道含参数二次函数综合题的思路突破

考题1：已知抛物线C：y1=a（x-h）2-1，直线l：y2=kxkh-1.

（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；

（2）当a=-1，m≤x≤2时，y1≥x-3恒成立，求m的最小值；

（3）当0＜a≤2，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围.

思路讲解：（1）抛物线C的顶点坐标为（h，-1）.当x=h时，y2=kh-kh-1=-1，则直线l恒过抛物线C的顶点.

（2）当a=-1时，重新写出抛物线C的解析式：y1=-（xh）2-1.设直线的解析式为y3=x-3，接下来画出图像，数形结合，如图1，抛物线C的顶点在直线y=-1上移动.

图1

图2

由于当m≤x≤2时，y1≥x-3恒成立，则可确认抛物线C的顶点为（2，-1），为了突破这个难点，我们可以画出一个反例，比如该抛物线顶点不在直线x=2上时，就会出现图2的反例情形.回到图1，设抛物线C与直线y3=x-3除顶点外的另一交点为M，此时点M的横坐标即为m的最小值.联立两个图像的解析式得到方程组解得x1=1，x2=2，所以m的最小值为1.

另解展示：由y1≥x-3出发，把y1=-（x-h）2-1代入不等式，得到-（x-h）2-1≥x-3，整理得x2-（2h-1）x+h2-2≤0，结合条件“当m≤x≤2时，y1≥x-3恒成立”，可把x=2代入不等式，整理得h2-4h+4≤0，从而确认h=2.于是不等式明确为x2-3x+2≤0，再把m代入该不等式也……