贾丽媛

【摘要】设Z表示整数环，i表示虚单位（i=-1） Z[i]为所有形如a+bi，（a，b∈Z）的复数组成的集合，称为高斯整数环.高斯整数环中的元素称为高斯整数.在王芳贵的《关于高斯整数环的商环的元素个数的注记》中已经用代数方法证明出|Z[i]/（m+ni）|=m2+n2.本文将用几何方法给出这一结论的证明.注意，对于m=0（或n=0）的情况，证明方法同可证.所以，本文只给出m≠0，n≠0的证明.以下我们用|A|表示A种元素的个数.

【关键词】高斯整数环；商环；理想

一、绪 论

（一）记号：Z[i]={a+bi|a，b∈Z，i2=-1}，Z[i]对普通加法和乘法构成一个环，称为高斯整数环.

（二）定义：（1）若环R的非空子集I满足条件：① I是一个子加群；② 对任意a∈I，r∈R，元素ar，ra都在I中，此时，我们称I是R的一个理想.

（2）设R是一个环，I是R的一个理想，商群RI关于乘法a·b=ab所生成的环，叫作R关于I的商环，仍用记号RI表示.

（3）设Z表示整数环，i表示虚单位（i=-1），Z[i]为所有形如a+bi，（a，b∈Z）的复数组成的集合，称为高斯整数环.高斯整数环中的元素称为高斯整數.

二、本 论

（一）高斯整数环其商环元素个数

命题1 如果A为高斯整数点，设A=a+bi，且a≠0，b≠0.以OA为边作四边形OABC.又设区域G～为正方形OABC内部的点及OA，OC边上的点（但不包括A点和C点）中的全体高斯整数点，则G～内恰有a2+b2个高斯整数点.

证明 作正方形OABC的外接正方形EFGH，易知，正方形EFGH中所含的高斯整数点为（a+b）2=（a2+b2+2ab）个.长方形HCQB及PAGB中所含有的高斯整数点均为ab个，其中包括A，C点.三角形BPA与三角形CEO内所含的高斯整数点相同.三角形AOF与三角形BCQ内所含的高斯整数点相同.所以正方形EFGH-长方形HCQB-长方形PAGB中所含的高斯整数点的个数=G～中所含的高斯整数点的个数.故|G～|=a2+b2+2ab-2ab=a2+b2得证.

命题2 如果分别作平行于正方形OABC的各边的平行线且相邻的平行线间的距离相同，设G为所有平行于OA与OC的线束的交点的全体，则G仅含有点（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i，这里c+di是任意整数点.

证明 设G1={（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i|c+di∈Z[i]}.欲证G1=G.设GG1.对x+yi∈G，lA：y=abx与OA平行的直线族lA：y=bax+ma2+b2a（m∈Z）.

lC：y=-abx与OC平行的直线族lC：y=-abx+na2+b2b（n∈Z），故交点为y=bax+ma2+b2a，y=-abx+na2+b2b，

故（x，y）=（na-mb，am+bn），

取c=nd=m，知（x，y）=（ac-bd，ad+bc），

即x+yi=（a+bi）（c+di），c，d∈Z.

故x+yi∈G1，故GG1.

下证：G1G.

对x+yi∈G1.即存在c+di∈Z[i].s.t.x+yi=（a+bi）（c+di），即x=ac-bdy=ad+bc.由上知：

直线y=bax+da2+b2a与直线y=-abx+ca2+b2b的交点为（ac-bd，ad+bc），

即交点为（x，y），故x+yi∈G.

故G1G，故G1=G.得证.

命题3 对任意高斯整数点x+yi存在唯一的高斯整数点c+di，e+fi满足x+yi=（a+bi）（c+di）+（e+fi），其中e+fi∈G～.

证明 设M点坐标为x+yi，其在正方形NSTR上，但不在ST，RT边上，设向量OMMN对应的复数为e+fi，因OM=ON+NM.由命题2知，|c+di∈Z[i].s.t.ON=（a+bi）（c+di），故由命题1知x+yi=（a+bi）（c+di）+（e+fi），故e=x-（ac-bd），f=y-（ab+bc）.由于x，y，a，b，c，d∈Z.故e，f∈Z，且由向量平移知e+fi∈G～.由于ON确定（OM的唯一分解），故e+fi唯一确定.得证.

定理 商环Z[i]/（a+bi）含有a2+b2个元素.

证明 现利用命题1，2，3.证明a≠0，b≠0的情况（对于a=0，b=0同理可证）.

首先做如下说明：易知

a+bi={（c+di）（a+bi）|c+di∈Z[i]}.

令[t=x1+y1i]=t+（a+bi）=x1+y1i+（a+bi），即Z[i]/（a+bi）={[t]，t∈Z[i]}.

同理有[t=x1+y1i]=[s=x2+y2i]t-s∈（a+bi）a+bi|t-st，s被a+bi整除时有相同余数.

由命题3知：x+yi∈Z[i].有x+yi=（a+bi）（c+di）+（e+fi）.e+fi∈G～.

故a+bi|x+yi-（e+fi），故x+yi与e+fi被整除时有相同的余数.

即[x+yi]=[e+fi]，

故Z[i]/（a+bi）={[e+fi]，e+fi∈G～.}

由于G～中所含元素个数为a2+b2个.

故|Z[i]/（a+bi）|=a2+b2.

结论 本文给出了高斯整数环其商环元素个数的几何求解方法，通过对本课题的研究，加深对高斯整数环的了解，推出定理.在研究本课题的过程中，学会在借鉴前人研究成果的基础上，通过科学的分析和严格的推理，得出新的理论成果.一方面，磨炼自己坚持不懈、百折不挠的顽强意志；另一方面，培养在科学研究的道路上勇攀高峰的奋斗精神.同时，在深刻领悟人类智慧成果的基础上，不断提高自身的数学素质和科研能力，为今后的学习和工作奠定基础.