丁立娟

【摘要】本文主要工作是在单位复圆盘D上平方可积的函数构成希尔伯特空间，Bergman空间定义为其中解析函数构成的子空间.本文探讨多项式函數的Bergman范数的最值和它的零点在D上的位置分布的关系.通过对帕塞瓦尔定理的直接应用，得出了2-范数的精确结果.对于p-范数给出了部分结果的证明和n=3时对猜测结果的计算机验证.

【关键词】Bergman范数；MATLAB计算；多项式；零点

一、前 言

在工程数学中Bergman范数的求解与分析具有重要的作用，本文主要针对的是多项式的Bergman范数零点，进行理论证明和计算机的验证.

二、理论准备

假定u是A内连续的下调和函数，并且m（r）≤12π∫π-πu（reiθ）dθ.（0≤r<1）

若r1

由以上定理可知12π∫π-π|f（reiθ）|pdθ是r的增函数.

Holder不等式：

∫E|f（x）g（x）|dx≤ ∫E|f（x）|p1p· ∫E|f（x）|q1q，

1p+1q=1.

Holder不等式的推广：

∫E|∏Nn=1fn|dx≤∏Nn=1 ∫E|fn|pndx1pn，其中∑Nn=11pn=1.

三、理论证明

（一）对2-范数最值问题的证明

设n次多项式f（z）=∑Nn=0anzn，不妨设aN=1，由复系数多项式的因式分解定理知，

f（z）=∏Nn=1（z-zn），其中zn是f（z）在D上的零点（n=1，2…，N）且满足0

由2-范数的定义和极坐标变换得

‖f‖22=∫10r∫2π0|f（reiθ）|2dθdr，

由帕塞瓦尔定理得

∫2π0|f（reiθ）|2dθ=∑+∞n=0|an|2r2n，

代入上式得

‖f‖22=∫10r2π∑Nn=0|an|2r2ndr=2π∫10∑Nn=0|an|2r2n+1dr

=2π∑Nn=0∫10|an|2r2n+1dr=∑Nn=0|an|2πn+1.

由根与系数的关系得

an=（-1）N-n∑n1

令f1（z）=zn-an，f2=（z-b）n，设其各项系数分别为a（1）n（n=1，2…，N）和a（2）n（n=1，2…，N），由上述公式得

|an|=|（-1）N-n∑n1

<∑n1

当n=0时，

|a0|=aN<∏Nn=1|zn|=|a（2）0|；

当0

|an|=|（-1）N-n∑n10=|a（2）n|；

当n=N时，

aN=a2N=1；

综上，|a（1）n|<|an|<|a（2）n|，对于0≤n≤N.

因为‖f‖2=∑Nn=0|an|2πn+1是|an|的单调函数，

‖f1‖2=2π∑Nn=0|a（1）n|22n+2<‖f‖2<∑Nn=0|a（2）n|2πn+1=‖f2‖2.

因此，由对称性可知，当f的零点在r=a上均匀分布时，f的2-范数取得最小值；当f的n个零点集中在r=b上某一点上时，多项式函数f的2-范数取得最大值.

至此，2-范数情况证毕.

特别地，对于测度dAa（a）=（1-|z|2）adA（a），a>-1时，

‖f‖22=∫10r（1-r2）∫2π0|f（reiθ）|2dθdr，

利用帕塞瓦尔定理得

‖f‖22=2π∫10∑Nn=0|an|2（r2n+1-r2n+3）dr

=∑Nn=0π（n+1）（n+2）|an|2.

由|a（1）n|<|an|<|a（2）n|（对于0≤n≤N），同上法可得出相同结果.

四、对于p-范数问题的研究

利用Holder不等式得

‖f‖pp=∫10∫2π0∏Nn=1|（reiθ-rneiθn）|pdθrdr

≤∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ1nrdr.

注意到

∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ=∫2π0（|（reiθ-rneiθn）|2）np2dθ

=∫2π0（r2-2rrncos（θ-θn）+r2n）np2dθ

=∫2π0|（rneiθ-reiθn）|npdθ.

由上面结论12π∫π-π|f（reiθ）|pdθ是r的增函数可知

∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ=∫2π0|（rneiθ-reiθn）|npdθ

也是rn的增函数，且rn

∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ=∫2π0|（rneiθ-reiθn）|npdθ

≤∫2π0|（beiθ-reiθn）|npdθ=∫2π0|（reiθ-beiθn）|npdθ.

所以

‖f‖pp=∫10∫2π0∏Nn=1|（reiθ-rneiθn）|pdθrdr

≤∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ1nrdr

≤∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-beiθn）|Npdθ1Nrdr，

由周期函數的性质得

∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-beiθn）|Npdθ1Nrdr

=∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-b）|Npdθ1Nrdr

=∫10∫2π0|（reiθ-b）|Npdθrdr=∫D|（z-b）N|pdA（z）.

即对于p-范数，当f的n个零点集中在r=b上某一点上时，多项式函数f的p-范数取得最大值.

五、基于MATLAB对三次多项式的结果进行验证

利用MATLAB编程初步验证了题目中猜测的结果.我就n=3的情况下利用随机数产生一组多项式，并要求多项式在D上有n个零点.通过近似积分计算初步验证了猜想.主程序如下：

a=0.1； %零点模的下界

b=0.9；%零点模的上界

p=1.5；%p值

f=@（r，th）（abs（（r.*exp（i.*th））.^3-a.^3））.^p.*r；%表示p（z）=zn-an

vmin=integral2（f，0，1，0，2*pi）

%p（z）=zn-an的p-范数

g=@（r，th）（abs（（r.*exp（i.*th）-0.9）.^3））.^p.*r；%表示p（z）=（z-b）n

vmax=integral2（g，0，1，0，2*pi）

%p（z）=（z-b）n的p-范数

k=0；

for j=1：100

R=unifrnd（0.1，0.9，3，1）；TH=rand（3，1）*2*pi；

h=@（r，th）（abs（（r.*exp（i.*th）-R（1）*exp（i *TH（1）））.*（r.*exp（i.*th）-R（2）*exp（i*TH（2）））.

*（r.*exp（i.*th）-R（3）*exp（i*TH（3）））））.^p.*r；

v=integral2（h，0，1，0，2*pi）；

if v>=vmin&&v<=vmax

k=k+1；

end

End %计算随机产生的满足条件的100个多项式

%并比较其范数

k/100%求出介于两数值之间的百分比

运行结果为100%，表示随机产生的100个多项式的p-范数都介于两者之间，可以验证对于1 000个多项式计算也成立.

由于多项式是随机产生的，所以初步可以验证猜测的准确性.由于希尔伯特空间具有很好的几何性质，所以在2-范数情况下存在精确的解析结果，即由帕塞瓦尔定理推导出的积分公式.但是对于一般的Lp空间，不具有希尔伯特空间的特点，所以没有得到精确表达式.但是可以利用下调和函数的性质证明猜测.根据对p=2时结果加以归纳，可以猜测出当f的零点在r=a上均匀分布时（这里说的均匀分布是指相邻的两个零点之间，幅角的差是定值2πn）f的p-范数取得最小值；当f的n个零点集中在r=b上任意一点上时，多项式函数f的p-范数取得最大值.本文中已经给出了取得最大值情况的证明，对于最小值的情况，给出了n=3时三次多项式的计算机验证，验证的结果也说明了猜测的正确性.

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