孙丹

【摘要】本文從矩阵的常规转置（主转置），延拓到矩阵的非常规转置（次转置、行转置、列转置）.经过深入探讨，给出了它们的妙趣横生的颇有意义的一系列结论，并予以技巧各异的论证，其中以行转置和列转置二者的关系最为奇妙.此后又由常规的对称阵和反对称阵，给出次转置的次对称阵与反次对称阵的定义及其相关结论.

【关键词】次转置；行转置；列转置；次对称阵；反次对称阵

一、引 言

矩阵的转置（常规转置或主转置）是矩阵论的重要组成部分.笔者联想到矩阵的非常规转置（次转置、行转置、列转置），给出它们的定义，并经过长期深入的研究与探讨，给出了它们的一系列妙趣横生的颇有意义的诸多结论.对其中显而易见者，我们免去其证明；有些我们则以例代证，以方便读者；对行、列均有的成套结论，我们仅对行证，因为对列同理；对多数结论，我们不惜篇幅，均予以技巧各异的论证.最后由常规的对称阵和反对称阵，给出次转置的次对称阵与反次对称阵的定义及相关结论.

二、预备知识

为方便比较与研究，我们不妨先给出如下的定义：

（一）设矩阵A=（ai j）m n，把A的行变为列所得到的阵AT=（aj i）n m叫作矩阵A的转置（常规转置或主转置）.

（注：“T”为“Transposed”的第一个字母）

（二）设矩阵A=（ai j）m n，以其次对角线为轴，左上和右下的元素对应互换所得到的阵AS=（an-j+1 m-i+1）n m叫作矩阵A的次转置.

（注：“S”为“Sub-transposed”的第一个字母）

例如，

A=3-102-2014-64-20，

AS=042-21040-1-6-23 .

（三）设矩阵A=（ai j）m n，以其中间行或中间两行的“空”为轴，上下等距离的行对应互换所得到的阵……