卢贤慧

函数思想是利用函数的概念、性质和图像去分析问题、转化问题和求解问题，它是一种很重要的数学思想方法，函数是研究变量的变化规律，所以只要有变量的问题就可以利用函数思想.在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想、组合一种新的函数关系，使问题在新的观点下实行转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解題手段.即通过构造辅助函数，把原问题转化为研究辅助函数的性质，并利用函数的单调性、有界性、奇偶性来解决.所以，构造辅助函数在代数、几何等问题中是非常常见的.

本文以2016年高考文科数学全国Ⅰ卷第21题压轴题为例，让我们一起体会通过构造函数，化含参问题为已知问题，把复杂问题简单化，从而解决函数难题.

一、试题呈现

已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

二、赏 析

本题考查到了函数的零点、极值点及方程根的问题.在解决含参数的函数零点问题时，经常要对参数分情况讨论.研究发现教育部考试中心所提供的参考答案不易想到，本题第二问参考答案采用分类讨论的方法解决.作为文科学生，对分类讨论的技巧较难掌握，学生往往会感到困难，讨论时常常因遗漏情况而导致解答不全面，难以做到不重不漏，对学生能力的要求较高，对于学生来说在有限的时间内解决这类问题是有困难的.但分离参数、构造函数能轻松地解决此类问题.笔者根据这类问题的共性和特点，根据函数f（x）有两个零点求参数的范围，尝试使用函数与方程的思想进行分离变量，构造不同的函数，利用数形结合的方式解答，均得到了比较简捷的解法.

三、解法探究

解法1 变量分离直接构造参数函数解题

可利用题设条件把参数分离出来直接构造单个函数，利用导数作出函数图像解决零点个数问题.

由方程f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0，

得到a=-（x-2）ex（x-1）2（x≠1），

令h（x）=-（x-2）ex（x-1）2，则h′（x）=-（x2-4x+5）ex（x-1）3，

当x∈（-∞，1）时，h′（x）>0，所以h（x）在（-∞，1）单调递增；

当x∈（1，+∞）时，h′（x）<0，所以h（x）在（1，+∞）单调递减.

且易知当x∈（-∞，1）时，h（x）>0；当x∈（1，+∞）时，h（x）∈R.

要使函数f（x）有两个零点，只需a>0.

此法根据已知条件进行参数分离，把参数直接分离.但是很多题目是可以分离参数的，只是分离后新的函数并不太好处理，有的需要用到零点定理，有的需要多次求导，有的还需要用罗比达法则，等等.

本题也可根据条件把零点问题变成由方程分离出来构造两个基本函数，作出函数图像解决问题.

解法2 构造一次函数解题

由方程f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0，

得到-a（x-1）=（x-2）exx-1（x≠1）.

令h（x）=（x-2）exx-1，g（x）=-a（x-1），

则h′（x）=（x2-3x+3）ex（x-1）2，显然h′（x）>0.

当x∈（-∞，1）时，h′（x）>0，所以h（x）在（-∞，1）单调递增；

当x∈（1，+∞）时，h′（x）>0，所以h（x）在（1，+∞）单调递增.

且易知当x∈（-∞，1）时，h（x）>0；当x∈（1，+∞）时，h（x）∈R.

要使函数f（x）有两个零点，则需要函数h（x）=（x-2）exx-1与函数g（x）=-a（x-1）的图像有两个交点，又函数g（x）=-a（x-1）过定点（1，0），所以只需-a<0，∴a>0.

解法3 构造二次函数解题

由方程f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0，

得到（x-2）ex=-a（x-1）2.

令g（x）=（x-2）ex，h（x）=-a（x-1）2.

则g′（x）=（x-1）ex，

当x∈（-∞，1）时，g′（x）<0，所以g（x）在（-∞，1）单调减递；

当x∈（1，+∞）时，g′（x）>0，所以g（x）在（1，+∞）单调递增.

易知g（x）=（x-2）ex在R上连续，且当x∈（-∞，1）时，g（x）<0；当x∈（1，+∞）时，g（x）∈R.

要使函数f（x）有两个零点，则需要函数g（x）=（x-2）ex与函数h（x）=-a（x-1）2的图像有两个交点，则函数h（x）=-a（x-1）2必须是开口向下的二次函数，其对称轴为x=1，所以-a<0，a>0.

解法4 构造对勾函数解题

由方程f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0，得到ex-a=（x-1）2x-2=（x-2+1）2x-2=（x-2）+1x-2+2（x≠2）.

令g（x）=ex-a，h（x）=（x-2）+1x-2+2，

作出两个函数g（x），h（x）的图像，根据指数函数与对勾函数的变化趋势，易知要使函数f（x）有两个零点，只需a>0.

四、解题反思

函数的高考压轴题越来越难，而且含有参数，很多人发现，高考题给出来的标准答案都看不懂，连答案都看不懂的题目，怎么会做呢？不过高考给出的标准答案基本没有采用分离参数的方法，参数讨论的分类标准自然不好把握，但是很多题目是可以分离参数的.构造新函数是解决导数问题的基本方法，但是有时简单地构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理地构造函数就是问题的关键.要抓住问题的实质，化简函数，尤其是抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题，一次函数、二次函数、指对数函数、幂函数、简单的分式根式函数、绝对值函数的图像力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化、明确化.