王恒兴

分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也各不相同的函数.分段函数是一类表达形式特殊的函数，无论其表达式有几段，它都只能算一个函数，而很多学生总认为它是几个函数，从而涉及分段函数的题目往往容易弄错.分段函数在新教材中单独成为一节，可见其在函数内容中占着重要的位置.本文试图从分段函数的单调性入手，揭示分段函数的一些解题方法和策略，以帮助大家进一步认识和了解分段函数.

一、求函数的单调区间

例1 设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数k，定义函数fk（x）=f（x），f（x）≤k，k，f（x）>k， 取函数f（x）=2-|x|，当k=12时，函数fk（x）的单调增区间为（ ）.

A.（-∞，0）

B.（0，+∞）

C.（-∞，-1）

D.（1，+∞）

解 由f（x）>12，即2-|x|>12，∴-|x|>-1，

即-1

∴f12（x）=2-x，x≥1，12，-1

故f12（x）的單调增区间为（-∞，-1），故选C.

感悟 这是一种自定义函数的题型，具有创新意识，只要弄懂正文求出函数解析式，其他问题就容易解了.

二、由分段函数单调性求最值

例2 （2015年浙江）已知函数f（x）=x+2x-3，x≥1，lg（x2+1），x<1， 则f[f（-3）]=，f（x）的最小值为.

解 由题意知f（-3）=1，f（1）=0，∴f[f（-3）]=0.

又f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增.

∴f（x）min=min{f（0），f（2）}=22-3.

感悟 这里易知f（x）的单调性，但求最小值时一定要比较f（0）和f（2）的值哪个更小，否则易犯经验错误.

三、由分段函数的单调性解不等式

例3 （2016年山东调考）已知f（x）=x2+1，x≥0，1，x<0， 则满足不等式f（1-x2）>f（2x）的x的取值范围是.

分析 若通过代解析式来解不等式f（1-x2）>f（2x），则需要讨论四种情况，且出现四次不等式，显然麻烦还不一定解得出来.本题可考虑数形结合法求解.

解 作出y=f（x）的图像，欲使f（1-x2）>f（2x），则必有

1-x2>0，2x<0 或1-x2>2x，2x≥0， 解得-1

感悟 这里巧妙地避开了复杂的分类讨论，而是借助图像、依据函数的单调性达到了求解的目的.

四、由分段函数的单调性求参数范围

例4 （2016年北京东城区调考）已知函数f（x）=-x2+6x+e2-5e-2，x≤e，x-2lnx，x>e.

（1）若f（6-a2）>f（a），则实数a的取值范围为；

（2）函数g（x）=f（x）-e-2e-3（x-3）的零点个数有个.

解 ∵f′（x）=-2x+6，x≤e，1-2x，x>e，

当x≤e时，f′（x）=6-2x=2（3-x）>0；

当x>e时，f′（x）=1-2x=x-2x>0.

∴f（x）在R上单调递增.

（1）由f（6-a2）>f（a），得6-a2>a，解得-3

（2）g（x）=0，即f（x）=e-2e-3（x-3），由于y=f（x）在R上单调递增，且过点（e，e-2），又y=e-2e-3（x-3）是单调递减的直线，也过点（e，e-2），故y=f（x）与y=e-2e-3（x-3）只有一个交点，故g（x）=f（x）-e-2e-3（x-3）的零点个数有1个.

感悟 本题直接作图是很难的，第（1）问代解析式来解不等式也是不可能的，通过导数判断单调性才是最佳的.可见对于一些比较复杂的分段函数（含有超越函数），借助求导求有关问题行之有效.