虞伟红

【摘要】“鸡兔同笼”是经典名题，很多版本的教材都有收录，解决此类问题的方法也是多种的，但是每次教学效果不尽人意。本文以《鸡兔同笼》一课为例，精心设计环节，合理安排内容，注重渗透“双重变量”的解题思想，挖掘出各种方法的本质。使学生加深了对此类问题的理解，也为后续学习埋下伏笔，取得了良好的教学效果。

【关键词】双重变量 鸡兔同笼

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）22-0201-03

一、研究背景

“鸡兔同笼”作为经典名题，在新教材中，有很多版本里都能找到。比如，北师大版安排在五年级上册，目的是让学生学会表格列举；苏教版六年级上册却是作为“假设和替换”策略的一道练习题；而人教版安排在六年级上册“数学广角”中，详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。有许多的老师对这个内容进行过教学实践，有些老师甚至放到二、三年级进行尝试，学生的表现依然可圈可点。但是，我们课后通过追踪了解，学生还是存在这以下的现象：

（一）存在的现象

1.现象一，解法理解不透

解决最基本的鸡兔同笼问题，学生运用假设法能够达到80%以上的正确率，60%的学生可以依样画葫芦写出假设法的计算式，可是算出来的到底是鸡的数量还是兔的数量有很多学生说不清楚，甚至出现张冠李戴的情况。

2.现象二，不能学以致用

学生知道题目中出现鸡兔的是鸡兔同笼问题，可是如果改变了情景，就不知道这还是鸡兔同笼问题，不能进行知识之间的迁移，不知怎么解决。进入复习以后，学生再次碰到鸡兔同笼的问题，很多学生就吃不准了，“这是鸡兔同笼问题吗？”“什么是鸡兔同笼问题？”种种困惑油然产生。

（二）现象的背后

1.只关注问题的结果，不注重问题的本质

师：同学们，你是怎么解决这道题目的？

生1：我是采用列表法。

学生上台展示自己的方法，讲述自己的列表过程。

教师在整个过程中并没有充分利用学生的资源，学生只是走过程式的找到了答案，大多数学生只是知道解决鸡兔同笼问题可以用列表法，只要有序的去寻找，我们肯定能找到我们想要的答案。有相当一部分孩子不会首选列表法，原因太麻烦，是一种比较笨的方法。

2.只关注方法的输出，不注重方法的理解

我们回忆一下我们许多教师在上这堂课的时候是怎么介绍假设法的。我们的教师强调的是“假设全鸡或全兔”，学生并不知道“为什么要这样假设？”“假设法的根本思路”是什么？教师没有作出解释，有些教师甚至还编出了顺口溜：假鸡出兔；假兔出鸡。所以，学生只是囫囵吐枣不知所以，之后的练习也只是依样画葫芦，但是一碰到改变的情景就束手无策。笔者认为要改变这个现状，我们要去了解学生，要让学生明白假设的依据是什么？做到知其然并知其所以然。

3.只关注方法的多样，不注重思想的整合

解决鸡兔同笼问题，不同年级可以采用不同的方法，画图法，列表法，假设法，方程法等，我们需要去展示这些方法但更为重要的是在我们介绍了所有的方法以后，我们应该对解鸡兔同笼的各种方法进行沟通，找到它们之间的联系，抓住各种方法的本质，渗透解决鸡兔同笼的思想方法。

通过以上现象的分析可见，在课堂中解决"鸡兔同笼"这一问题方法很多，但是作业反馈情况却不尽人意，鉴于此笔者在思考是不是要将多种方法的本质进行提炼，从而对这一类问题各种方法的本质进行整合。那么我们在课堂上该如何操作呢？于是笔者结合自身的多年的课堂教学实践提出了在课堂中渗透“双重变量”的思想来整合这些方法，用这颗星星之火，去点燃學生思维的火把。

二、探索的过程

鸡兔同笼问题有自己的明显特征：它是把两种事物放在一起描述，知道两种事物的不同方面的总和而且两事物数量之间存在着一定的差距。在初中，“鸡兔同笼”问题是放在二元一次方程组解应用题里面的，用设两个未知数并利用数量关系式列一个方程组来解决问题，而我们小学里采用的众多解决鸡兔同笼问题的方法本质上都是这个解法的具体应用。我们的学生正处在由形象思维向抽象思维转变的阶段，学生对方程陌生，对二元一次方程组更难以理解，因而笔者尝试着在课堂上渗透“双重变量”的思想来解决这类问题。我做了如下尝试：

（一）主线凸显，贯穿课堂

课的开始 先出现（ ）+（ ）=5，请学生填一填。

再出现（ ）×2+（ ）×4=12，也请学生填。

最后考虑两个算式都符合的结果。

课的新授 把《孙子算经》中记载的鸡兔同笼问题翻译成现代文再翻译成数学表达式：

变量一 变量二 变量一 变量二

（鸡数） +（ 兔数）=35 （鸡数） +（ 兔数 ）=8

（鸡数）×2+（ 兔数）×4=94 （鸡数）×2+（ 兔数）×4=26

课的巩固 （1）小松鼠采蘑菇，晴天每天可以采20个，雨天每天可以采12个。6天后共采集蘑菇88个。求晴天有多少天？雨天呢？

变量一 变量二

（晴天） + （雨天）=6

（晴天）×20+（雨天）×12=88

（2）甲种盐水含盐，乙种盐水含盐 ，把两种盐水倒在一起，得到含盐19%的盐水100克，甲乙两种盐水各多少克？

变量一 变量二

（甲盐水） + （乙盐水）=100

（甲盐水）× +（乙盐水）× =100×19%

课的结束 如果你会做这样的问题，你就能解决所有的鸡兔同笼问题

变量一 变量二

X — Y =5

2X + 4Y =28

X=（ ） Y=（ ）

我的思考：鄭毓信教授在《数学教育哲学》中说：“数学即是注重思想的科学”，“数学教学的基本任务就在于帮助学习者逐步建立与发展一种解题思想、应用思想、探索思想的能力。”可是我们的对象却是以形象思维为主的一个群体，怎样处理这个矛盾？笔者在六年级的数学思维活动课上进行了以上的教学尝试，在整堂课中始终贯穿用“双重变量”的思想建立等式组来描述题目的数量关系式，从而帮助学生很好的抓住了鸡兔同笼问题的特点。

（二）深耕表格，提炼本质

新课程改革以来，我们改变了以往单一的教材模式，出现了多种不同版本的教材，而且每种版本的教材在保证新课程的思想精髓的前提下，体现各自对数学内容的理解，以求更好地适应我们的学生，顺利完成既定的新课程目标。我们教师备课时对同一教学内容可以参考各种版本的教材，分析各教材编排的特点从而找到它们的优点，汲取精华为我所用。比如：笔者今天讲的鸡兔同笼问题。

对比了人教版、北师大版、苏教版、青岛版的教材，四个版本一个最大的相同点是都介绍了列表法。列表法的本质其实就是通过不断改变“双重变量”，获得各种相应结果，从而找到符合问题的答案。列表法的具体方法如下：

1.鸡兔同笼，共有8个头，26条腿。笼子里各有几只鸡，几只兔？

逐

师：观察表格你有什么发现？

生1：脚有变化，增加1只鸡，脚却少了2只。

生2：我发现增加1只鸡减少1只兔，脚的总数减少了2只。

生3：嗯，兔增加1只鸡减少1只，脚的总数反而增加了2只。

师：如果要增加8只脚，应该把几只鸡变成几只兔？如果要减少8只呢？怎么办

……

2.出现《孙子算经》中的鸡兔同笼问题。

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

……

（1）交流填的方法。（2）你能不用表格知道答案吗？

…………

通过研究，笔者的目的之一就是想让学生通过列表，经历尝试调整的过程，发现“双重变量”中增减一个变量所引起的变化规律：当多一只兔，少一只鸡，总腿数就会多两只，反之当多一只鸡，少一只兔，总腿数就会少两只。在展示交流的时候，学生就自己说了“我发现100比94多了6，而每次多一只鸡少一只兔就少2只脚，我就直接加了3鸡。”通过学生的说，我们有理由相信学生已将发现的“双重变量”中增减一个变量所引起的变化规律自觉的应用到活动中，经过他的表述马上有人说我两次就出来了。“当兔有1，鸡有34，脚72比94少22，1鸡变1兔脚多2，22里有11个2，就直接上兔12，就OK了。”瞧！我要的假设法这不就来了！“如果笼子里全是鸡”的假设不恰好与表格的第一列联系上了吗？再如“假设全都是兔，”那不正好就是表格最后一列的情况吗？我们不难发现四版教材列表法的本质就是对具体的“双重变量”的研究。

（三）替换再现，拨云见日

【片段1】每次学生学习过鸡兔同笼的问题，大多数学生都会采用假设法解题，下表是我在教学了《鸡兔同笼》这一课后做的一个抽样统计：

鸡兔同笼，共有8个头，26条腿，鸡有几只？兔有几只？ 列表 画图 假设法 方程法 不会

4% 8.3% 85% 1.2% 1.5%

从表格的数据可以看出假设法还是挺受欢迎的，但是每次对那些采用假设法的学生提问：为什么明明假设的是鸡，怎么求出来的却是兔呢？（很多学生一时难以回答，沉默；或者念念碎碎不知所云），教学中，如何突破？假设法解法，主要是两种方法：（1）用差来理解，看看总共多出了多少脚，然后看这个里面有几个2，得出一种动物的只数。（2）用替换的方法，前面的假设中数量有偏差，如果太少了，就用兔子来替换鸡，如果多了，就用鸡来替换兔子。两种不同的教学，用差来讲解，是在同一平面上的，需要学生更多的分析数量关系的能力，而用替换的思想，是出于不同的平面上的，学生理解起来更直观形象。同时用替换的思想的话，对于第一步除出来是什么动 物，学生更好理解一些。笔者通过“给鸡添脚”实现“用兔替鸡”；“给兔减腿”实现“用鸡替兔”，并且在课件上清晰重现这一替换过程，顺畅的突破了教学难点。设计如下：

（1） （2）

（3） （4）

生1：因为假设的全是鸡，一只兔看成了鸡，少算了2只腿，所以少掉的腿都是“兔腿”。

生2：所以，把少算的6条腿换回去，就成了兔子。所以，假设的是鸡，求出来的是兔。

生3：反过来，假设的全是兔，求出来的是鸡。

（1）

（2）

（3）

生4：嘿，我知道了，“假鸡出兔”、“假兔出鸡”。

师：多么精辟的发言。

……

我的思考：通过前测我们发现列表法对于孩子来说难度低一点，学生会假设法的不多，而且其中假设成鸡的同学多一点。同时访谈中我们也发现学生会用假设法，但是不知道为什么假设的是鸡求出来的却是兔，假设的是兔求出来的却是鸡。对于教学难点：除以2，这里的2表示什么意思？是鸡的脚的只数还是兔与鸡的脚数的差？是假设法学生理解起来最难的地方。笔者通过重现替换的过程，让学生经历整个替换过程，从而体会到替换的实质，顺利突破难点，更好的理解假设法。

这也正好应验了数学家华罗庚的一段精辟论述：“数缺形时少直观；形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。

【片段2】我发现大家在用假设法时，为什么要假设全部都是鸡，全部都是兔？这样假设有什么好处？

生1：这个……

生2：如果不假设全部的话，跟我们前面列表格一样了。

师：一样在哪里？

生2：都要考慮两个量，要调整到符合两个量。

生3：假设法是变成了只有一个了。两个问题只有一个问题了。

师：那么如果不“全假设成鸡”或“全假设成兔”，而是“任意假设鸡兔”，例如我们假设有10只鸡，25只兔，怎么办？

生4：可以呀！此时脚数为10×2+25×4=120（只），比实际94只脚多120-94=26（只），这说明鸡假设少了，而兔假设多了。

师：鸡少了多少只？

生5：（120-94）÷（4-2）=13（只）

所以，鸡有10+13=23（只），而兔有35-23=12（只）

………

我的思考：假设的思想是数学思维的重要模式。基于“鸡兔同笼”问题模型的建立和以上的思考，假设法可以看作是解决“鸡兔同笼”问题的基本方法。假设法的本质就是消元，正因为两个事物能够转化成一个，所以才“全假设成鸡”或“全假设成兔”。这也让学生形成了一个固有的想法：解鸡兔同笼问题就用假设法，用假设法就只有全假设鸡或兔，这不利于学生构建完整的知识体系。为此，我进行了上面这个环节的设计，一方面可以让学生抓住鸡兔同笼问题的核心怎样进行鸡兔之间的替换，另一方面也让学生对假设法有一个更全面的了解，一举两得。

（四）沟通方法，打通壁垒

到了六年级，只要接触过鸡兔同笼问题的学生，当你问他们鸡兔同笼可以有哪些解决方法的时候？他们都会给你列出很多种方法，在他们的脑海里每种方法都是孤立的，为了能让学生去发现这些方法的联系我设计了下面这一环节：

板书设计：

师：我们前面主要探究了鸡兔同笼问题的各种解决方法。其实这些方法是有联系的。

我们可以用前面列的等式组来解释。

（鸡数）+（兔数）=8 ①

（鸡数）×2+（兔数）×4=26 ②

列表法：就是先把鸡兔数量合起来是8的全部找出来符合等式组①，然后再利用等式②求出脚的数量，最后找到脚数是26的那一组就是我们要的答案。

假设法：

如果都是鸡，那么（鸡数）×2+（兔数）×2=8×2 ③

然后②-③得到：（兔数）×4-（兔数）×2=26-16

（兔数）×2=10

（兔数）= 5

（鸡数）=8-5=3

如果都是兔，那么（鸡数）×4+（兔数）×4=8×4 ③

然后②-③得到：（鸡数）×4-（鸡数）×2=32-26

（鸡数）×2=6

（鸡数）=3

（兔数）=8-3=5

古人的方法：

就是②÷2得到：（鸡数）×2÷2+（兔数）×4÷2=26÷2

（鸡数）+（兔数）×2=13 ③

③- ①：（兔数）×2-（兔数）=13-8

（兔数）=5

（鸡数）=8-5=3

师：其实他们的想法是一样的都是把两个问题转化为一个问题来解。

我的思考：解决“鸡兔同笼”问题的常用方法有直观图示法、列表推算法、假设置换法、金鸡独立法、简易方程法等，由于学生的认知水平和风格的不同，可能会出现上述不同的解决方法，但并非要求学生尽可能多地想出不同的解题方法进行展示，可也不想让学生误认为解鸡兔同笼问题有这么多相对独立的解题方法。为此，笔者运用“双重变量”的解题思想整合了这几种方法，使得学生明确这些方法背后的联系，促进学生在原有基础上向更高水平发展。同时，也为学生后续学习二元一次方程组埋下伏笔。

三、实施成效

通过这样的课堂设计，笔者发现学生对鸡兔同笼问题有了更深刻的认识，学生能自然而然的养成从不同的情景中找出同一结构关系的数量模型的思维习惯和数学观念。能更好的从浩瀚的数学题海中认识此类问题，做到学而精。能清楚的理解各种方法之间的联系，不再认为每种方法是孤立的。能很好的领会鸡兔同笼问题的本质即是“双重变量”的数学思想。以下是在期末自测中出现的鸡兔同笼问题我们班的答题情况统计：

分析上表不难发现学生的解题方法发生了变化，他们在理解各种方法的联系之后，有了自己的选择，针对不同的问题会合理选择方法，不同的学生在鸡兔同笼的解法上有了自己的成长，能给出合理的解释。

鸡兔同笼为我们广大师生创设了一个很好的舞台，不同的人有不同的解题方法，运用“双重变量”的解题思想能更好的把鸡兔同笼的解题方法进行整合，并能为将来的学习做好铺垫。同时“双重变量”的解题思想又不仅仅局限于解决鸡兔同笼问题，灵活运用“双重变量”的解题思想能够帮助学生提升解决问题的能力，从而激发学生的数学学习兴趣。

参考文献：

[1]顾亚龙：《别有滋味儿的“夹生饭” 》 [J]，小学数学教师，2011年第10期；

[2]中华人民共和国教育部：《义务教育数学新课程标准（解读）》 [M]，北京师范大学出版社，2012年版；

[3]卢江 杨刚主编：《义务教育课程标准实验教科书·数学》[M]，人民教育出版社，2012年5月。