江西省井冈山中学(343600)

俞 凯●



数形结合在高中数学中的应用

江西省井冈山中学(343600)

俞 凯●

数形结合的思想就是根据数据与图形之间的对应关系，通过数与形之间相互转化来解决数学问题的一种思想体现.本文阐述了数形结合思想在高中数学解题中的若干应用.

数形结合；高中数学；应用

著名的数学家华罗庚说过这样一句话：单独数字存在时形缺少给人以感官上的影响，但是形缺少数字时无法精准的量化标准.然而数形结合的思想能够很好的将两者结合起来，数据不再抽象，图形不难入微.它在我们中学的数学中通常体现在以下几个内容：

1．实数与数轴上的点的位置关系；

2．函数与图形的对应关系；

3．曲线与方程的对应关系；

4．三角函数；

5．等式或者代数式有着明显的几何意义.

接下来将从这几个方面来说明数形结合的思想在解决数学问题中的应用.

一、实数与数轴上点的位置关系

分析 先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．

解 由不等式①，得2x>2，解得x>1，

由不等式②，得﹣2x≤﹣4，解得x≥2.

∴数轴表示的正确方法为C，

所以选C．

二、函数与图形的对应关系

利用数形结合思想证明三角函数.

1.证明正(余)弦定理

(2)根据勾股定理AB2-BE2=AC2-CE2，即c2-(c·cosB)2=b2-(a-c·cosB)2；

三、曲线的对应关系

在等差数列{an}中，若Sm=n，Sn=m(n>m)，求Sm+n的值.

分析 由已知，A(m,n)、B(n,m)是Sn图象上的两点，显然，这两点关于直线y=x对称，所以，直线AB斜率为-1，从而，点C的坐标为(m+n,0),点D的坐标为(m+n,-m-n).设Sn所在抛物线为y=ax2+bx,因为A、B均在此抛物线上，∴am2+bm=n,an2+bn=m.∵n≠m,两式相减得，a(m+n)+b=-1,两边同乘以(m+n)得，a(m+n)2+b(m+n)=-(m+n),即点D在抛物线上，所以，Sm+n=-(m+n).