☉安徽省合肥市教育科学研究院 许晓天

☉安徽省合肥市第一中学吴建平

一道高三检测试题的命制、解法和教学建议

☉安徽省合肥市教育科学研究院 许晓天

☉安徽省合肥市第一中学吴建平

合肥市2017年第二次高三教学质量检测于3月25日至26日进行，理科数学第21题第（2）问引起了教师在各类教研群内广泛讨论.普遍认为此问题的题面与去年高考新课标I卷21题第（2）问相似，但按照高考题提供的解答方法，无法完成此检测试题，这也是此次检测合肥市没有学生完整解答此题的重要原因.下面就此题的命制、解法以及对解题教学谈谈笔者的拙见.

一、试题命制

（一）考题研究

已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（1）求a的取值范围；

（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2.（2016年新课标I理科试题）

解：（1）（解答略）.

（2）不妨设x1＜x2，由（1）知，x1∈（-∞，1），x2∈（1， +∞），2-x2∈（-∞，1），（fx）在（-∞，1）上单调递减.

所以x1+x2＜2等价于（fx1）＞（f2-x）2，即（f2-x2）＜0.

所以（f2-x2）=-x2e2-x2 -（x2-2）ex2

.

设g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，则g（′x）=（x-1）（e2-x-e）x.

所以当x＞1时，g（′x）＜0，而g（1）=0，

故当x＞1时，g（x）＜0，

而g（x2）=（f2-x）2＜0，故x1+x2＜2.

研究结论：（1）试题的题目简洁，函数零点、不等式和取值范围都是学生熟知的概念和内容.（2）可以推广为：若f（x1）=f（x2）（x1＜x2），证明：x1+x2＜2.证明：f（x1）＞f（2-x2），也即f（x2）＞f（2-x2），即（x2-2）ex2 +a（x2-1）2＞-x2e2-x2

+ a（1-x2）2，即-x2e2-x2 -（x2-2）ex2

＜0，以下证明相同.

（二）试题命制

命题要求：1.题面尽可能与高考题一样简洁，可以是指数或对数与多项式函数的线性组合；2.第（1）问有分类讨论渗透其中；3.第（2）问命制与题干相关的问题，类似高考题中等函数值点或零点，但要求解法不可以直接仿照高考的方法，要用其他解法，旨在考查学生的创新思维；4.第（2）问不设难度系数，启示教师在二轮复习后期注重学生解题思维和方法的引导，避免按照“题型+方法”的套路进行教学.几易其稿后，最后呈现试题如下：