☉江苏省张家港市乐余高级中学 张森焱

高考中的递推数列

☉江苏省张家港市乐余高级中学 张森焱

数列是高中数学的一项重点内容，递推数列是其中的一个难点，它类型多，解法灵活，技巧性强，是考查学生逻辑推理、转化与化归能力的良好载体，也是近年来高考常考的内容.下面介绍对递推数列的几种考查方式，以期抛砖引玉.

一、递推数列通项公式的求解

递推关系是给出一个数列的重要形式，求数列的通项公式，是得出一个数列的基本途径，也是转化与化归数学思想的应用——化抽象为具体.

方法1.累加法

在数列｛an｝中，已知首项a1，且满足an+1=an+f（n），数列｛f（n）｝是可以求和的.

以上n个等式相加得，

这里的第n个等式（最后一个）是an-an-1=…，而不是an+1-an=….

方法2.累乘法

（2）f（n）=kan（ak≠0，a≠1），即数列｛f（n）｝为等比数列，其中a为公比，首项为ka.

方法3.构造等差数列法

将所求的数列关系式变形，构造等差数列.

常见构造的等差数列的形式有三种：

方法4.构造等比数列法

例4在数列｛an｝中，已知a1=1，有an+1=3an+2n+1，求数列｛an｝的通项公式.

形如an+1=qan+d（d（q-1）≠0）的递推关系，都可运用构造等比数列的方法来求其通项公式.具体做法是：设an+1+x=q（an+x），由an+1=qan+d解得，所以数列｝是公比为q的等比数列，从而可求其通项公式.

方法5.先猜后证

这种数列的通项公式问题，需要先求出这个数列的前若干项，寻找其规律，猜想其结果，然后用数学归纳法证明其正确性.

猜想an=n（2n-1）=2n2-n，下面应用数学归纳法证明其正确性.

①当n=1，2，3，4时，结论当然成立.

②假设当n=k时，结论成立，即ak=2k2-k，

所以，当n=k+1时，结论也成立.

综合①与②知，对任何正整……