☉安徽省宣城市第二中学 朱长友

一类递推数列的直观解释和“变”题探究

☉安徽省宣城市第二中学 朱长友

一、形如an+1=f（an）递推数列的案例直观解释

我们设想把这类数列的各项（数）用数轴上的点（形）来表示，以例1［1］为例来说明.

图1

图2

分别过P1，P2，P3，…，Pn引x轴的平行线与y轴交于B2， B3，…，Bn+1，与P2A2，P3A3，…，PnAn，交于Q2，Q3，…，Qn，容易观察到点Q2，Q3，…，Qn，在直线y=x上，如图2.

Q3→P3→…→Pn，可以在直线上得到一排点P1，

P2，P3，…，Pn，从图中看点列P1，Q2，P2，Q3…是“上升阶梯”状，很明显，这些排点是逐渐升高的（形），故｛an｝（数）是单调递增的，通过数形转换，得到此数列的单调性，这就是此类递推数列的直观解释.

从图3中可以看出：点列P1，Q2，P2，Q3，…，Pn是“下降阶梯”状地，故数列｛an｝是递减数列，可以判断，当a1∈R时，数列｛an｝都是递减数列，在解题时，我们可以先判断数列的单调性，然后根据单调性的定义，加以证明.

图3

二、一道高考题的解法探究

（1）｛xn｝为递减数列的充要条件是c＜0；

（2）求c的取值范围，使｛xn｝为递增数列.

分析：本题设计新颖，主要考查形如an+1=f（an）的递推数列的单调性.第（2）问探究c的取值范围，立意深，对考生的探究能力和创新思维有较高的要求.

1.常规解法（读者自己证明，此略）

2.解法探究（利用直观解释）

先利用直观解释探究c的范围，然后加以证明.

当c＜0时，从图4中看到点列P1，Q2，P2，Q3…是“下降阶梯”状，解释了第（1）问，可以判断数列｛an｝是递减函数.

图4

图5

如图5，当c=0时，点列P1，P2，P3，…都重合在坐标原点，故an=0，即｛an｝是常数列.

图6

然后根据数学归纳法证明.（此略）

3.赏析

（1）高等数学的背景.所给的递推数列形如an+1=f（an）的形式，以二次函数为载体，考查数列的单调性，可以看出命题者对……