☉江苏省张家港市乐余高级中学 张士亮

优化解析几何题的几种策略

☉江苏省张家港市乐余高级中学 张士亮

解析几何大题是很多高中学生比较头痛的一块，主要是因为运算量太大.在高考中，解析几何题历年的得分率都不是很高，如果能在高考中结合其他知识点，简化运算，优化解题过程，不仅可以节省时间，还可以提高正确率.

一、利用圆锥曲线定义巧解实际问题

圆锥曲线定义是反映问题最本真的东西，解题时若能把握好圆锥曲线的定义，一定会收到意想不到的效果.

图1

分析：实际应用问题要将问题转化为数学模型来解决.

图2

本解法综合考查了椭圆的第一定义及标准方程，并利用椭圆的第二定义求最小值问题，特别是第二定义的应用，并借助了数形结合使问题得以解决.

从上面的解题过程我们可以看出：运用圆锥曲线的定义解题，通过数形结合，不仅能抓住问题的本质，还能避开复杂的运算，使问题巧妙获解.

二、利用直线的参数方程解题

参数方程是选修内容，若能抓住其本质，在问题解决过程中能起到举足轻重的作用.

（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

设点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）.

在第（Ⅱ）问中，如果借助于直线的参数方程，可以有效地减少计算量

新解法利用直线参数方程中|t|的意义，直接代表曲线上的点到所给定点的距离，省去了原方法中求两点之间距离化简的步骤，直接联立方程用韦达定理即可，因此有效减少了运算量.在遇到圆锥曲线中涉及求到所给定点距离的，或者求共线向量内积的，都可以借助直线的参数方程简化运算.

三、利用向量优化解题过程

例3如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A（2，4）.

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

图3

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；

高考原解：（1）圆N的标准方程为（x-6）2+（y-1）2=1.

（2）直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（具体解答过程略）

（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）.

因为点Q在圆M上，所以（x2-6）2+（y2-7）2=25.②

将①代入②，得（x1-t-4）2+（y1-3）2=25.

在第（3）问中，如果借助向量，可以有效地减少计算量.

新解法利用向量只研究大小和方向，借助向量的模进行放缩，进而达到求解问题的目的.相比原解法省略了设点代入方程的步骤，有效地减少了运算量.在解决解析几何问题时，能多联系其他知识点，可以有效地减少运算量，提高解题效率和准确率.

四、利用设而不求及韦达定理优化解题过程

对于“直线与圆锥曲线的位置关系”问题，通常将直线方程和曲线方程进行联立，消元后得到一个一元二次方程，再结合韦达定理、根的判别式等来处理相关问题，这类问题是以“设而不求，整体代换”来充分体现“划归与转化”的数学思想方法，这是圆锥曲线综合问题“通用”的解题策略.

例4已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A、B两点，直线AE与直线x= 3交于点M.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

（Ⅲ）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.

（Ⅱ）因为AB过点D（1，0）且垂直于x轴，所以可设A（1，y1），B（1，-y1）.

所以直线AE的方程为y-1=（1-y1）（x-2）.

（Ⅲ）直线BM与直线DE平行.证明如下：

当直线AB的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知kBM=1.

当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1）（k≠1）.

所以kBM=1=kDE，所以BM∥DE.

综上可知，直线BM与直线DE平行.

本题的解法中是设出直线方程并与椭圆联立，用直线AB的斜率k及A，B的横坐标x1，x2表示直线BM的斜率，在利用韦达定理将直线BM的斜率表示为k的形式，从而判断直线BM与直线DE的位置关系，本解法采用了设而不求、韦达定理即斜率公式，避免了烦琐的计算，进而使问题顺利得到解决.

总之，我们需要在解题过程中综合其他不同的知识点，关注知识点之间的融合，引导学生反思、总结、提炼，长期以往，就一定能收到良好的教学效果.F