☉江苏省扬州大学附属中学 吴 琪

例谈函数恒成立思想解决数列问题*

☉江苏省扬州大学附属中学 吴 琪

数列是一类特殊的函数，解决数列问题的视角主要是两个：一是数列本身的视角；二是函数的视角.本文主要探讨类比函数的恒成立问题来解决数列中的恒成立问题、不等式问题等，下面举例说明.

一、解决数列不等式问题

1.利用函数恒成立思想对数列通项放缩

显然是递减数列，故k≥2.

当n→+∞时，bn＜1，且趋向于1，故k≥1，取k=1，得

同理，当n=2m（m∈N*）时，命题也成立.故原不等式得证.

2.利用函数恒成立思想对数列求和后放缩

利用函数恒成立思想，有些时候放缩的误差还是很大，所谓“失之毫厘，谬以千里”，并不能得到所需要的结论，此时可以尝试部分项放缩，即前几项不放缩，从第二项或第三项甚至第四项才开始放缩，从而避免放缩“过犹不及”的缺点.

（1）求｛an｝的通项公式an；

又故对任意的.故原不等式成立.

点评：本题第（2）问的解题思路是将数列通项放缩成等比数列或裂项形式进行求和，再进行放缩，若还不能得到目标结果，可适当对数列通项延后放缩，部分放缩，减少放缩导致的误差.类似的，我们也可以将前面的问题更精确，如将例1中的证明进一步改成放缩延后到第二项，第三项方别得到结论

数列不等式是一类综合性较强的问题，我们可以利用函数恒成立思想对数列不等式进行放缩、求解.在解题过程中要充分挖掘题设条件信息，把条件合理的转化、加强、放缩，同时结……